| 标题 | 根与零点之间的转换 |
| 范文 | 宋元明 【摘要】本文主要围绕函数的零点的基础求解出发，将函数零点运用到不同的方面，包括方程的根、函数的定义域以及不等式等方面.作为函数的重要性质，它把函数、方程、不等式紧密地联系起来.函数的零点个数，零点范围以及零点的参数问题是常见的求解问题，本文对这些方面进行运用并进行综合分析.结合数形结合、等价转化、函数与方程等思想求解问题函数零点的问题. 【关键词】函数零点；方程的根；单调性 一、基础知识 方程的根与函数的零点： 1.函数零点的概念：对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x做作函数y=f（x）（x∈D）的零点. 2.函数零点的意义：函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，亦即函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标.即，方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点. 3.函数零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么函数在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0. 关于函数零点的运用问题经常要联系导数研究函数的性质，其中单调性作为函数的核心性质，通过对单调性的研究进而解决零点问题，对于含有参数的函数可以运用分离变量等方式进行解决问题.下面主要归纳函数零点的应用. 二、判断函数的零点根的分布情况 例1（2013年福建高考文科22）已知函数f（x）=x-1+ae-x（a∈R，e为自然对数的底数）. （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数y=f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值. 解析如下： （1）由f′（1）=0易得a=e，（2）略. （3）直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程kx-1=f（x）无解，构造函数g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+1ex，于是等价于函数g（x）在R上没有零点，下面可以有两种处理方法. 方法一分离参数.根据定理1的推论4知：方程g（x）在R上无解等价于（k-1）x=1ex在R上没有实数解，当k=1时，方程1ex=0显然无解当k≠1时方程可化为1k-1=xex，构造函数h（x）=xex，由h′（x）=（1+x）ex=0.得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，h′（x）<0，当x∈（-1，+∞）时，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，-1）单调递减，h（x）在（-1，+∞）单调递增，所以hmin（x）=h（-1）=-1e，且当x→+∞时，h（x）→+∞，所以h（x）的取值范围是-1e，+∞所以当1k-1∈-∞，-1e时，方程无解，所以k的取值范围是（1-e，1）综上可得k的取值范围是（1-e，1]，所以k的最大值为1. 方法二不分离参数.假设k>1此时g（0）=1>0，g1k-1=-1+1e1k-1<0. 又函数g（x）的图像是连续不断的一条曲线，根据上述定理可知方程g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0无实数解”矛盾，故k≤1，又当k=1时，方程1ex=0显然无解，所以k的最大值为1. 例2判断函数f（x）=|log2（x+1）|+x-1的零点个数. 分析运用方程的思想和数形结合的思想，将原问题转换为函数y=|log2（x+1）|与函数y=-x+1图像交点问题. 根据图像可以得到函数的零点个数为2. 判断函数的零点个数常用的方法有：（1）直接求解；（2）结合单调性和极值，转换为判断函数图像穿过x轴的次数；（3）对于复杂函数转换为求两个函数图像交点问题. 三、函数零点与函数的定义域 例如，求函數y=x2+5x-6的定义域，需要计算函数f（x）=x2+5x-6的零点，从而求解函数的定义域. 四、函数零点与不等式求解证明 证明：当x>0时，ln（1+x） 证明构造函数F（x）=ln（1+x）-x，则F′（x）=11+x-1.当x>0时，F′（x）<0，F（x）单调减少，则F（x） 同理可以证明当x>0时，ex>1+x，这是常有不等式，一般出现在高考的证明中. 这是将方程思想和函数零点的思想结合，同时和函数的单调性相关，从而求解不等式或者证明不等式. 五、总结 函数零点的应用范围广，其中包含了方程的根求解、不等式以及函数等多个方面，整合了数学的方程求解思想，数形结合、转化与化归思想，主要是运用等价关系和零点存在定理进行计算求解或证明问题. |
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