| 标题 | 锥序约束下定数截尾情形两指数总体均值的估计及性质 |
| 范文 | 李巧玲 摘要：本文给出了在定数截尾情形，在锥序约束α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2条件下，两指数总体均值λ的约束极大似然估计i，i=1，2。证明了i具有比常用估计量Si更小的均方误差，并且给出了i对Si的渐进效率，i=1，2。 关键词：锥序约束约束极大似然估计均方误差渐进效率 本文首先给出了锥序约束下定数截尾情形两指数总体均值的极大似然估计；然后讨论了锥序约束下的极大似然估计的一些性质，得出了锥序约束下的极大似然估计具有比常用估计更小的均方误差，并且给出了锥序约束下的极大似然估计对常用估计的渐近效率。 设X1，…，Xn1和 Y1，…，Yn2分别为来自均值为λ1和λ2的指数总体的简单随机样本，其中α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2。X(1)，…，X(r)和Y(1)，…，Y(r)分别为(n1，r)和(n2，r)定数截尾方案下的前r个次序统计量。记 则S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）。 1 锥序约束α1λ1≤λ2≤α2λ1下λi(i=1，2)的约束极大似然估计 ①当α1S1≤S2≤α2S1时，易知λi在锥序约束下的极大似然估计为Si，i=1，2。 ②当S2<α1S1时，易知似然函数应在锥的边界上达到最大，因此只需考虑参数空间{(λ1，λ2):λ2=α1λ1}上的点，这相当于在约束λ2=α1λ1下求Lagrange函数G（λ1，λ2，α）=2(lnn！-ln(n-r)！)-rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2- rS2/λ2+α(λ2-α1λ1)的最大值点，即锥序约束下的极大似然估计。由Lagrange乘子法可得： 解之，得到λ1，λ2在锥序约束下的极大似然估计分别为 ③当S2>α2S1 时，同②一样，只需在约束λ2=α2λ1下求Lagrange函数G(λ1，λ2，α)=2（lnn！-ln(n-r)！）-rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2-rS2/λ2+α（λ2-α1λ1）的最大值点，同样可得到λ1，λ2在锥序约束下的极大似然估计分别为： 由①，②，③可知在锥序约束α1λ1≤λ2≤α2λ1下， λ1和λ2的约束极大似然估计分别为 2 均方误差的比较及对Si的渐进效率 本节我们通过定理1和2证明锥序约束下的极大似然估计具有比常用估计更小的均方误差，并且给出了锥序约束下的极大似然估计对常用估计的渐近效率。 为了以后讨论的方便，记 易见 和R（Si）分别是 和Si的均方误差， 也是它们在平方损失下的风险， 是对Si的 效率。 并且记y1=λ2/α1λ1，y2=λ2/α2λ2，y3=1/y1，y4=1/y2，则y1≥1，0 又因S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）且S1与S2相互独立，类似于文献[6]的证明方法，可得 其中 A(y1)=(2r+1)/4(y12-2y1-3)， B(y1)=1/2(y1+4r+3)>0， C=-2(2r+3)/4<0。 用同样的方法我们可以得到 其中 A1(y2)=(2r+1)/4(y22-2y2-3)<0， B1(y2)=(2r+1)/2(y2-y22)+r(1+y2)>0， C1(y2)=y22-ny2<0。 对的有关性质，有定理1成立。 定理1 ① ③当a2/a1→+∞时，有 。 证明： ①只需证K1<0，K2≤0。 记f(t)=A(y1)t2+B(y1)t+C则我们可得出当A(y1)≠0时，二次方程f(t)=0的两根分别为：1/(1+y1)，。 当A(y1)>0时，1/(1+y1)是唯一的正根；当A(y1)<0时，1/(1+y1)是较小正根。 当A(y1)=0时，1/(1+y1)是唯一正根。于是当t∈[0，1/（1+y1）]时，f(t)<0。于是k1<0。 a记f1(t)=A1(y2)t2+B1(y2)t+C1(y2) 当0 于是当y2>r/(r+1)时， >0，即φ（y2）是凸函数。 又因为 因此当y2∈[r/（y+1，1）时，φ（y2）≤0，于是结论①成立。 ②因 a当y1>1时，即λ2>α1λ1时， 因y1>1，故（1+y1）2/4y1>1，于是当r→∞时，K1→0。 同理可得0 由Stirling公式可知当r→∞时， 于是当n1→∞时，K1→-1/4。 而K2=φ(1)= ， 同样可得当n1→∞时，K2→-1/4。 由a知，α1λ1≤λ2≤α2λ1时， 从而有。 由a，b知，当λ2=α1λ1或λ2=α2λ1，且a1≠a2时， 有 于是有。 由b知当α1λ1=λ2=α2λ1时， 于是有，综上可知结论②成立。 ③因4t(1-t)≤1，可得 可知当a2/a1→∞时，有K1=0，K2=0，于是 从而当a2/a1→∞时， 于是结论③成 立。 对的有关性质，有定理2成立。 定理2 ① ②当=c0(大于0的常数)时，有 ③当a2/a1→+∞时，有。 证明：因为 。 类似于前面的计算可得 其中 A2(y3)=(2r+1)/4(y32-2y3-3)<0， B2(y3)=(2r+1)/2(y3-y32)+r(1+y3)>0， C2(y3)=y32-ny3。 其中A3(y4)=(2r+1)/4(y42-2y4-3) B3(y4)=1/2(y4+4r+3)>0 C=-(2r+3)/4<0。 类似于定理1的证明方法可得此定理成立。 参考文献： [1]赵世顺，王德辉，宋立新.锥序约束下两个指数总体均值的估计[J].吉林大学学报(理学版)，2001(3):5-10. [2]周伟萍，张德然，杨兴琼.序约束下两个几何总体参数的Bayes估计[J].山东理工大学学报(自然科学版)，2007(06). [3]赵世舜，宋洋，宋立新.对称熵损失下两个指数总体均值的序约束估计[J].吉林大学学报(理学版)，2007(01). |
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