标题 | 两个关于Smarandache函数的方程 |
范文 | 摘要:对任意正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m,使得n|m!对于任意给定的正整数n,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m,使得n|1+2+…m=■。文章用初等方法研究了方程S(n)=Z(n)和S(n)+Z(n)=n,并给出了它们的全部解. 关键词:Smarandache函数 伪Smarandache函数 整数解 1 概述 对任意正整数n,令S(n)表示Smarandache函数,其定义为使n|m!的最小的正整数m,即S(n)=min{m:n|m!,m∈N}。如果n=p■■p■■…p■■为n的标准因子分解式,则由定义容易推出S(n)=■{s(p■■)}。由此也不难算出S(n)的前几个值为: S(1)=1,S(2)=2,S(3)=3,S(4)=4,S(5)=5,S(6)=3,S(7)=7,S(8)=4,S(9)=6,S(10)=5,S(11)=11,S(12)=4,S(13)=13,S(14)=7,S(15)=5,S(16)=6,……。对于任意给定的正整数n,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m,使得n|1+2+…m=■,即Z(n)=min{m:m∈N,n|■}。 由此公式可知Z(1)=1,Z(2)=3,Z(3)=2,Z(4)=7,Z(5)=4,Z(6)=3,Z(7)=6,Z(8)=15,Z(9)=8,Z(10)=4,Z(11)=10,Z(12)=8,Z(13)=12,Z(14)=7,Z(15)=5,Z(16)=31,……。该函数是Kashihara在文献中提出的。Kashihara和Ibstedt研究了它的性质并获得了一系列有趣的结果。 本文的主要目的是利用初等方法研究方程S(n)=Z(n)和S(n)+Z(n)=n,而且把它们所有的正整数解都给出来了,也就是要证明下面的: 定理1:如果n是偶完全数,则n必为方程S(n)=Z(n)的解。 定理2:n=6,12是方程S(n)+Z(n)=n仅有的两个特殊正整数解,其它正整数n满足方程当且仅当n=p·u或者n=p·2α·u,其中素数p?叟7,2α|p-1.u是■的任意一个大于1的奇数因子。 2 定理的证明 这一部分,我们将会用初等方法直接证明定理,为此我们先要引入两个引理: 引理:n是偶完全数的充要条件是n=2p-1(2p-1),其中 p和2p-1都是素数。 引理:如果p为一素数,那么S(pk)?燮kp;如果k设n=p■■p■■…p■■为n的标准因子分解式,则S(n)=■{S(p■■)}=S(pα),其中p为素数。由引理知当n=2p-1(2p-1)时S(n)=■{S(2p-1),S(2p-1)}。 S(2p-1)<2(p-1),S(2p-1)=2p-1, 显然2(p-1)<2p-1,所以S(n)=S(2p-1)=2p-1(1) 由于n=2p-1(2p-1)=■,所以Z(n)=2p-1(2) 由(1)和(2)知:如果n是偶完全数,则S(n)=Z(n)。 定理1证毕。 下面利用初等及组合的方法来证明定理2。 容易验证:Z(1)+S(1)=2≠1,Z(2)+S(2)=5≠2,Z(3)+S(3)=5≠3,Z(4)+S(4)=11≠4,Z(5)+S(5)=9≠5,Z(6)+S(6)=6所以n=1,2,3,4,5都不是方程S(n)+Z(n)=n的解,n=6是方程S(n)+Z(n)=n的解。所以方程的其它解一定满足n?叟7,若n=p■■p■■…p■■为n的标准因子分解式,则S(n)=■{S(p■■)}=S(pα)。 注意到p|n及S(n)=u·p,故可设n=pα·n1,当n是方程S(n)+Z(n)=n的解时有:Z(n)+u·p=pα·n1(3) 首先证明(3)中α=1,否则假定α?叟2,由(3)知p|Z(n)=m 由Z(n)=m的定义知n=pα·n1整除■,而(m,m+1)=1,故pα|m,从而由(3)推出pα|S(n)=u·p,即pα-1|u,从而pα-1?燮u,但另一方面由于S(n)=S(pα)=u·p,由S(n)的性质知u?燮α,所以pα-1?燮u?燮α,此式对于奇素数p显然不成立,如果p=2,则当α?叟3时,pα-1?燮u?燮α也不成立。于是只有一种可能:u=α=2,注意到n?叟5以及S(n)=4,所以此时只有一种可能:n=12,而n=12是方程S(n)+Z(n)=n的一个解,所以如果其它正整数n满足方程S(n)+Z(n)=n,则(3)式中必有S(n)=p,α=u=1,此时,令Z(n)=m=p·v,则(3)式成为v+1=n1即n=p·(v+1),Z(n)=p·v,再由Z(n)的定义知n=p·(v+1)整除■即(v+1)整除■,由于(v,v+1)=1,所以当v为偶数时由上式推出v+1|pv+p-p+1即v+1|p-1或者v+1|■。显然对■的任意大于1的奇数因子r,n=p·r是方程S(n)+Z(n)=n的解。因为此时有Z(p·r)=p·(r-1)。 当v为奇数时,由(v+1)整除■得到v+1|■=■ 由此知p-1=(2k+1)(v+1),于是可设p-1=2βh,其中 h为奇数,则■为小于h的奇数因子。容易验证对任意奇数r|h且r [1]Ma J.P.,An equation involving the Smarandache function[J].Scientia Magna,2005(2). [2]F.Mark,M.Patrick,Bounding the Smarandache function[J].Smarandache Journal,2002(13). [3]F.Smarandache,Only Problems,Not Solutions[M].Chicago,Xiquan Publishing House,1993. 基金项目:陕西省教育厅项目(2013JK0889)。 作者简介:关文吉(1978-),女,陕西大荔人,渭南师范学院数学与信息科学学院讲师,理学硕士。 |
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