| 标题 | 浅谈微积分在不等式证明中的应用 |
| 范文 | 摘要：本文介绍了通过微积分理论、方法求解不等式的过程。这种方法思路简单、无需太多解题技巧，相对于初等方法来说，在求解函数、三角证明和几何证明等问题时更值得推广。 关键词：微积分 不等式 证明 应用 不等式是数学在函数、三角证明、几何证明中的重要内容。在数学学习中，利用初等方法求解不等式，对解题思路、解题技巧的要求较高。而借助微积分理论来求解不等式，往往使问题变得简单。 微积分解不等式相较于初等方法来说，思路更加清晰，而且对解题技巧的要求不是太高。笔者将结合高等数学中的微积分理论，在下文中针对微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论来解决不等式的问题进行详细说明。 1 利用微分中值定理证明不等式 微分中值定理：假设函数y=f（x）满足条件①和条件②：①在区间[a，b]上连续；②在区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=■。由于ξ在a，b之间，因此f′（ξ）将有一个取值范围，也就是说■有一个取值范围，由此可得到一个不等式。因此，可利用ξ在（a，b）内的特点证明不等式。利用微分中值定理，证明的关键在于函数和区间的选取。 例1 证明：设0证：（1）当a=b时，上式显然成立。 （2）当0故当02 利用函数的增减性证明不等式 函数f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）的充要条件：f′（x）>0（或f′（x）<0）。可利用此定理证明不等式。 例2 证明：当x>0时，x-■x■ 函数某领域内取得极大值或极小值，就能够借助极值特点证明不等式。 例3 证明：当x≥0时，nxn-1-（n-1）xn-1？燮0（n>1，n∈N）。 证：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1， 则f′（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）。 令f′（x）=0，得驻点x=1（因为x=0是x≥0的端点，所以x=0不是驻点）且当x<1时，f′（x）>0；当x>1时，f′（x）>0，所以f（1）=0，是极大值也是最大值，从而得：f（x）≤f（1）=0（x≥0），即nxn-1-（n-1）xn-1？燮0。 4 利用函数凹凸性的特点证明不等式 如果函数f（x）是凸函数，则在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？燮f■；如果函数f（x）是凹函数，则在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？叟f■。利用这一特点证明不等式。 例4 证明：若x>0，y>0，x≠y，则xlnx+ylny>（x+y）ln■ 证：设f（t）=tlnt，则t>0，f′（t）=1+lnt，f′′（t）=■>0，因此，函数f（t）=tlnt在（0，+∞）上是凹的；由函数凹性的定义， x>0，y>0，x≠y有xlnx+ylny>（x+y）ln■，由此可证原不等式成立。 5 利用级数证明不等式 按照幂级函数的形式将函数展开，对不等式进行证明。 例5 证明：■ ■=（1+x）（1+x+x2+…）=1+2x+2x2+2x3+…+2xn+… x∈（0，1） 知不等式级数展开式左边的一般项2xn，右边的一般项■；在n？叟3的条件下2>■，所以，当n？叟3，0 参考文献： [1]顾静相主编.经济数学基础（上册）[M].高等教育出版社， 2003. [2]同济大学数学系编.高等数学[M].第六版.高等教育出版社，2011. [3]张党光.高中微积分的教学策略研究[D].陕西师范大学，2013. 作者简介： 贺建平（1964-），女，宝鸡职业技术学院，副教授。 |
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