| 标题 | 关于“秦九韶算法”教学的一些思考 |
| 范文 | 黄先水 魏霜霜 【摘要】 “秦九韶算法”是人教A版數学必修3第一章第3节算法案例中的案例2.对算法案例的学习不仅能有效地复习本章的前两节知识，而且还能够让学生了解中国古代及西方数学中几个典型的算法案例，理解其中所包含的算法思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.本文主要对“秦九韶算法”的德育价值和数学价值进行了探微和研究. 【关键词】 秦九韶算法；数学；教学 【基金项目】 本文是安徽省教育科学规划立项课题《农村中学数学教师素质发展状况的调查研究》（项目编号JG10121）的研究成果之一. 在实际教学中我们很多教师为了高考而赶进度缩减课时，进行灌输式教学，不引导学生探究其算法的形成过程，而当作一道数学题来讲解，从而忽视了秦九韶算法的德育价值与数学价值.因此，有必要对秦九韶算法的教学作些思考. 一、德育价值的挖掘 课前，要求学生上网搜索秦九韶生平及秦九韶算法对人类数学发展的贡献，然后，小组合作写出数学小论文.利用数学史的学习渗透德育元素，不仅可以激发学生强烈的民族自豪感，同时，也激励了学生学习的进取精神，还可以活跃课堂气氛. 秦九韶（约1202年—1261年）南宋官员、数学家，字道古，汉族，生于普州安岳（今属四川）.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，主要著作《数书九章》.秦九韶算法是一种将一元多项式的求值问题转化为求n个一次多项式值的算法，即把求f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值转化为求递推公式 v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n） 中vn的值.尽管秦九韶算法是700多年前提出的，但现在仍然是多项式求值的比较先进的算法.秦九韶是享誉世界的数学家，美国当代数学史家萨顿（G.Sarton）说，秦九韶是“他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”. 二、数学价值的探微 （一）转化是秦九韶算法的思想精髓 课堂教学中引导学生探究秦九韶算法思想的形成过程. 1.提出问题：直接求多项式的值要经过多少次乘法运算，多少次加法运算？（此种算法的效率显然很低下.） 2.教师引导：数学问题的解决过程本质上就是转化的过程，一次多项式的值容易求，那么我们何不……（学生异口同声：哦，转化！） 3.学生探究：把n次多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式： （学生在孜孜探究时教师要有耐心，允许他们思维卡壳.设问：然后，怎样求多项式f（x）的值呢？） 4.学生回答：求多项式的值时，首先，计算最内层括号里的一次多项式的值，然后，由内向外逐层计算一次多项式的值.这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，其中加法运算是n次，乘法运算也只有n次. 至此，秦九韶算法思想水到渠成.“感人的歌声留给人的记忆是长远的”，我们有理由相信学生一辈子都忘不掉！ （二）算法拓展：解决递归数列问题 秦九韶算法是将一元多项式f（x）的求值问题转化为求递推公式 v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n） 中vn的值，因而可用来解决有关递归数列问题，举例如下. 已知数列{an}中，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2），求通项an. 解析：根据已知条件可以构造多项式f（x）=2xn-1+22xn-2+23xn-3+…+2n-1x+2n，从而得到 an=f（2）=2n+2n+2n+…+2n=n·2n. 三、秦九韶方法的算法思想研究 v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n）. 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此，可用循环结构来实现. 师生共同设计算法步骤，画程序框图，最后，用WHILE语句和UNTIL语句编写算法程序. 在“秦九韶算法”之后，课本安排了“进位制算法”，为什么教材编写者做如此的安排？其用意何在？通过研究我们发现，利用“秦九韶算法”可以解决进位制问题！ 因为将k进制数转化为十进制数的表达式为M（k）=anan-1…a1a0（k）=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0=（…（（ank+an-1）k+an-2）k+…+a1）k+a0，所以只要把M（k）各数位上的数字依次从高位到低位分离出来，则可得十进制数；又因为an，an-1，…，a1，a0均为小于k的非负整数，所以a0=Mmodk，设M= M k ，则a1=Mmodk，再设M= M k ，则a2=Mmodk.如此循环，则可求得十进制数M化成k进制数M（k）后各个数位上的数字，再从右往左排列则可得k进制数. 由此可见，十进制数与k进制数之间相互转化的依据就是“秦九韶算法”. 把促进学生数学素养的可持续发展当作自己的责任，这是中学数学教育界业已达成的共识，也是教师职业道德对我们的要求.如何把教材“冰冷”的知识形态转化为“鲜活”的教育素材，这是值得认真研究的课题.我们的教学要少一点急功近利，多一点探究生成，正如安徽省特级教师徐晓兵所说的：数学教学的目光应放长远些. 【参考文献】 [1]普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2007. [2] 毛启干.对《秦九韶算法》和《进位制算法》的几点教学建议与体会[J].数学教学通讯（教师版），2010（3）：11-12. |
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