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特殊四边形中的折叠问题探析

范文

周洁

特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.

折叠性质的探索是通过手工操作进行的，操作的过程借以发现轴对称的本质，借助轴对称发现了全等，总结出折叠的性质.这个知识点是以生活中常遇的问题为载体开展折叠问题的课题研究，让学生经历从实际问题抽象为数学的折叠问题和轴对称问题，再利用性质将折叠和特殊四边形结合的问题化为全等的问题.其实折叠问题从本质上来说是轴对称问题，作为初三学生，在此之前其实也经常见到折叠问题，但是解决这方面的经验尚显不足，也没有过专项的学习和训练，特别是面对不论是从图形上看，还是从题目的已知条件上分析都显得比较复杂和烦琐的特殊四边形问题时，更会感到陌生，无从下手.

事实上，折叠的本身就是一项探究性的数学活动，是获得证明题依据的一种尝试，但是学生在遇到综合性问题中的应用问题时经常感到迷茫，经常容易忽略折叠对应的全等，常常发出“怎么想到的”的疑问.学生由于认知经验不足，教学时，教师可以让学生首先思考，亲自动手折叠，为学生搭建认知的桥梁，在证明时，教师要适时地点拨学生，让学生体会到折叠的作用.解决这一问题的难点是如何利用折叠的性质解决特殊四边形中比较复杂的折叠问题.下面通过一个教学设计为例来谈一谈解决这一问题的方法.

一、探索折叠的性质

问题1 学习折叠我们先从会折叠开始，让我们通过手工，从触觉、本质上认识一下折叠，准备好道具.

活动1 如果我們身边没有量角器或三角尺，你能作出45度的角吗？

师生活动：学生动手操作，利用矩形、正方形能比较容易地得到45度角.

活动2 如果我们身边没有量角器或三角尺，你能作出30度的角吗？

师生活动：最初学生会直接将直角分成三份制造30度，先让学生明确这种做法的错误性，再利用30度角的性质推出折叠结果.

强调：数学上的知识一定要理论上可以证明.我们是借助折叠过程中不变的边和角去证明的，而不是手工直接翻折而来的.

设计意图：让学生利用轴对称性质折叠出这些角度，体会折叠的本质和性质.

总结：经过我们的手工操作，你能得出折叠具有哪些特征呢？性质是什么？

二、习题初步体验

折叠的过程其实就是轴对称的过程，折叠前后对应图形的全等是解题的关键，尤其在特殊的四边形与折叠知识的结合中更为突出，例如，我们可以看一下这样的题目.

试一试：

1.如图1所示，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的点A′处，连接A′C，则∠BA′C=度.

2.如图2所示，在矩形纸片ABCD中，AB=2 cm，点E在BC上，且AE=CE.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC=cm.

师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识.折叠问题对应的全等是解决问题的关键所在.

设计意图：通过简单问题的探索，让学生将实际问题抽象为数学问题，初步体会折叠性质的简单应用，也初步体会折叠问题在对应全等方面的考题.正方形里面有折叠，折叠里面有全等，全等就可以推出边和角的相等，我们就是利用这些环环相扣的知识求出答案的.

师生活动：在解决这些问题时我们都应用了一个非常重要的过程——折叠，折叠相当于已知条件，折叠的性质经常作为证明题的理论依据.

三、习题巩固练习

问题2 如图3所示，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O.求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形.

师生互动：这个问题不论是从图形上还是题干的已知条件分析，都显得比较综合和复杂，所待求解的问题也不是折叠问题中常见的边和角的问题，学生独立思考，回忆折叠性质的应用和菱形的证明方法，并尝试回答.

学生叙述，方法多样，教师展示，共同探讨.

设计意图：这个问题只是涉及的知识点比较广泛，其折叠推出的结论并没有改变，需要我们去综合四边形性质和折叠的特性去综合性地解决问题，遇到这样的问题时，我们需要头脑镇定，抓住本质，完成问题.

四、师生活动总结

教师与学生一起回顾所学的主要内容，并请学生总结一下问题：

（a）本节课研究问题中的基本过程是什么？

（b）折叠在所研究问题中起到了什么作用？

教师小结：折叠问题导出的性质比较简单，希望每个同学都清楚并灵活运用，多注意、多思考、多观察、多整理，正确在这类问题中得到高分.

设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会折叠在解决特殊四边形中的作用，感悟转化思想的重要价值.

基于以上分析，解决折叠问题的重点是利用折叠的性质探索特殊四边形中的折叠问题.同时在利用折叠解决特殊四边形中的折叠问题时，又让同学们体会图形的变化在解决综合性特殊四边形问题中的重要作用，感悟数学中重要的转化思想.为了达到这个内容的教学目标，我们可以通过让学生自己动手实验发现折叠的性质，从而加深对折叠性质的由来的理解.从而让学生能在折叠问题的情境中利用性质证明特殊四边形中的问题，进而达到教学目标.

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