网站首页  词典首页

请输入您要查询的论文:

 

标题 对2018年北京卷理科19题的探究
范文

    范琴 余小芬

    

    

    

    【摘要】本文从试题解法、试题推广、试题改编三个视角对2018年北京卷理科19题进行了研究,得到了试题的两个推广及一个变式.

    【关键词】圆锥曲线;试题推广;试题改编

    【基金项目】 四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目(ZY16001).

    一、题目呈现

    (2018年北京卷理科第19题,下文简称19题)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

    (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;

    (Ⅱ)设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,求证:1λ+1μ为定值.

    二、解法赏析

    解 (Ⅰ)由抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),得p=2,所以抛物线C为y2=4x.由题意可知,直线l斜率存在,设斜率为k,且k≠0.又l过点Q(0,1),故设l:y=kx+1.联立y=kx+1,y2=4x, 得k2x2+(2k-4)x+1=0.又直线l与抛物线有两个不同的交点,故Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1.

    若直线l与抛物线的交点为(1,-2),则该交点与P点连线与y轴平行,不符合题意,此时对应直线l斜率k=-2-11-0=-3,所以k≠-3.

    综上,k的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

    评注 19题(Ⅰ)问考查了直线与抛物线的位置关系.学生不难想到联立直线与曲线方程,将图形交点问题转化为方程组的解的问题,进一步消元、利用一元二次方程根的判别式求解k.但容易忽略一些解题细节:一是对直线l斜率k的讨论,大部分学生能对斜率存在与否做分析,但易忽略k≠0情形;二是对直线PA(或PB)位置的讨论,不能排除PA(或PB)与y轴平行的情形.

    三、拓展研究

    事实上,连接P,Q两点,可证直线PQ与抛物线相切于点P.因为y=2x(y≥0),故y′=1x,所以抛物线在点P处的直线斜率为y′|x=1=1.又kPQ=1,故PQ与抛物线相切.因此,产生一个自然而然的想法:在抛物线C上任取一點P(不与原点重合),过P作抛物线C的切线与y轴相交于Q点,是否仍然有1λ+1μ为定值?经过验证,笔者得到了如下定理1.

    定理1 已知抛物线C:y2=2px(p>0),在抛物线C上任取一点P(不与原点重合),过P作抛物线C的切线与y轴相交于Q,过Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,则1λ+1μ为定值.

    四、试题改编

    试题改编是研究高考试题的重要方式.试题改编有利于深化对问题的本质认识,有利于实现解法的迁移.试题改编的基本方式有:变换试题背景、强化或弱化已知条件、改变设问方式,等等.[1]

    试题改编 已知椭圆C:x24+y2b2=1经过点P1,32,过P作椭圆C的切线与y轴相交于Q,过Q的直线l与椭圆C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,则1λ+1μ为定值.

随便看

 

科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。

 

Copyright © 2004-2023 puapp.net All Rights Reserved
更新时间:2025/3/14 3:58:35