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数学核心素养之“数学抽象”及“数学运算”案例研究

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卢凤英

摘要：数学抽象及数学运算是数学核心素养中提到的两种素养，本文依“椭圆定义的生成”谈“数学抽象”，并依“椭圆标准方程的化简推导”谈“数学运算”，最终阐明两种核心素养在数学教学中的具体体现。

关键词：数学抽象;数学运算;椭圆定义;方程

中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：（2020）-35-013

新修订的高中数学课程提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。数学核心素养则是指把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西，即能从数学的角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力.数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，是以学科知识技能为基础，整合了情感、态度、价值观在内的综合性表现。

数学抽象位居数学六大核心素养之首，其重要性不言而喻，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等，在這个过程中，必然会用到逻辑推理，因此，数学运算与其他核心素养密切相关，相互联系相互促进。

本文通过明晰数学抽象和数学运算的内涵、价值和水平划分，以数学核心知识为载体，以案例研究的方式，提高学生学科素养，促进学生的创新精神与实践能力的提升。下面就以“椭圆及其标准方程”的教学为例探讨“数学抽象”及“数学运算”的落实问题。

一、由“椭圆定义的生成”谈“数学抽象”

通过经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼

数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的抽象思维能力、归纳概括能力，此过程中充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

接下来，我们先看下椭圆定义的探究过程：

问题1：动手实践：将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点处，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？作图过程中笔尖对应的动点满足什么条件？

结论：动点到两定点的距离之和是定长（绳长）

问题2：你能类比圆的定义概括出椭圆的定义吗？

（圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合）

问题3：（1）绳长如果等于两定点之间的距离，画出的图形还是椭圆吗？

结论：以两定点为端点的线段

（2）绳长小于两定点之间的距离呢？

结论：画不出几何图形

问题4：需要作何补充才能准确概括出椭圆的定义？

结论：椭圆定义：平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆。

此教学过程就体现了从图形与图形关系中抽象出数学概念的过

程，学生通过反复动手实践感知图形的形成过程，深入认识图形中动点的运动特征，进而抽象归纳出其本质，形成数学概念，用恰当的数学语言表达出来。重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。

二、由“椭圆标准方程的推导”谈“数学运算”

通过经历用坐标化的方法求椭圆的标准方程的过程，对学

生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，进一步提升其数学抽象思维能力、数学运算能力。经历了椭圆标准方程的化简，也可以增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。接下来看一下椭圆标准方程的推导过程。

问题1：如何推导椭圆的标准方程呢？

教师引导学生思考直线或曲线与其方程的本质关系是什么（方程就是线上的点应满足的特征的数量关系式的体现）

问题2：如何建立恰当的平面直角坐标系？

（此处学生会出现多种建系方法，教师逐步引导找出最佳方法）以过点F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系。

问题3：建立了平面直角坐标系后接下来如何做呢？

设P（x，y）是椭圆上任意一点;椭圆的焦距|F1F2|=2c（c>0），则F1、F2的坐标分别是（c，0）、（c，0）;

化简

引导学生分析运算对象，猜想运算方向，选择运算规则，得：

先移项

再两边平方去根号

再移项

再两边平方去根号

则

两边同除a2b2得

此处通过耐心细心的化简运算最终得出焦点在X轴上的椭圆的标准方程：

问题4：我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，

那你能得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗？

小结得：

此教学过程中蕴含着“直线或曲线与其对应方程”这一抽象关系的深入认识，是在学习直线的方程、圆的方程的基础上的对曲线方程的再度探究，通过图形特征难度的逐步递增来逐步提升学生的能力即从几何图形到数量关系式的抽象思维能力。椭圆标准方程的化简过程使学生深入体会了含有两个根式的方程的化简方法，提升了数学运算能力。

数学抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。而抽象能力的素养是形成理性思维的重要基础。中学数学中发展学生核心素养的教学”与“思维的教学”并没有本质的区别，因此要成功地将数学核心素养落实在课堂的关键是以是以数学知识为载体，采用恰当的教学方法和策略，不断优化问题设计，通过对学生思维的启发和引导，数学核心素养的培养贯穿于数学教学的全过程，培养学生的数学思维和科学思维习惯，发展学生的数学能力，特别是数学思维能力和数学核心素养。众所周知，概念教学数学教学的基石，而形成概念的过程是典型的数学抽象思维过程，所以除了本节提到的从图形中抽象出数学本质进一步形成概念的的案例，平时教学中新概念产生教学案例如“函数的单调性”等都是很好的提升学生抽象思和数学运算能力的很好载体。

参考文献：

王卫华《高中数学核心素养研究之数学运算》

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