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解析几何中定点定值问题方法探索

范文

钟建国

摘要：解析几何中的定点与定值问题，在近几年的高考中频繁出现，主要以简答题的形式进行考察，考察难度较大。在定点与定值问题中，对于基础知识的考察较为严格，具有范围广且难度大的特点，在解答过程中需要学生具有较强的代数运算能力、数形结合能力与猜想能力等。所以针对于这类问题，本文将结合例题，论述其解题的方式。

关键词：解析几何;定值与定点;例题

中图分类号：G4? 文献标识码：A? 文章编号：（2020）-38-390

引言

定点问题，考察的类型主要是曲线系过定点问题，重点考察数学对象的基础属性，因此这类问题主要以圆锥曲线知识作为习题背景。定值问题，主要考察几何量的定值，如面积比、斜率等。在这两种问题解答中，可以直接进行求取定值或者定点，也可采用特殊情况猜测的方式解决问题，都可以取得优秀的解题效果。

一、定点问题

定点问题中曲线系过定点问题，是高考中常出现的习题类型，其中主要考察直线与圆锥曲线的相关知识。这类习题主要是考察直线或曲线通过定点等相似问题，在习题中一般会提供两个参数，解题过程主要是结合条件进行消参，因此这类问题对于学生的计算能力具有较高的要求[1]。

在具体习题中，根据习题的类型不同，具有不同的解题方式，如证明直线过定点，可将直线方程运用斜截式表示，消去一个参数后，即可解题;圆过定点问题中，主要运用直径所对的圆周角为直角这一知识点，最后运用向量知识解决;其他种类的曲线过定点问题中，常运用方式是集中公式中的参数变量，将其系数变为零，从而找到定点。

例一，椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，已知椭圆的离心率为12，已知存在一条直线过左焦点，交椭圆于A、B两点，，形成的△ABF2的周长为8。

（1）求椭圆的方程

（2）设动直线l;y=kx+m与椭圆相交，且只有一个交点P，并且与直线x=4相交于点Q。请问是否存在定点M，使以PQ为直径的圆恒过M点？如果存在请求出M点的坐标。如果不存在，说明理由。

问题分析：在本题中主要考察了椭圆的知识与性质、圆的性质、直线性质与平面向量等知识，锻炼了学生的推理、数形结合、化归、运算等思想能力。通过习题分析可以发现，本题第二个问题是定点问题，主要可运用直线与椭圆之间具有的对称性质，判定如果存在定点，定点的位置一定在x轴上，结合“以PQ为直径的圆恒过M点”这一条件，可设PM·QM=0，从而运用其他条件求出P、Q的坐标。

解题过程：（1）椭圆C的方程为x24+y23=1。

（2）设P（x0，y0）

联立方程x24+y23=1、y=kx+m

可推导出（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0

由于交点只有一个

所以△=（8km）2-4（4k2+3）（4m2-12）=0

化简得到4k2-m2+3=0

所以x0=-4km4k2+2=-4km，y0=kx0+m=3m

也得到Q（4，4k+m）

由此可知，若定点存在一定在x轴之上，所以设M（t，0）

已知PM·QM=0

（4t-4）km+t2-4t+3=0

解出t=1，求出定点M（1，0）

评析：在这个解题中，主要运用了方程性质、韦达定理、平面向量等知识。运用直线与椭圆方程之间的联系，判断出△=0，求出其中k与m之间的联系，在运用P、Q的坐标，简化k与m之间的数量关系，從而结合PM·QM=0，求解出定点坐标。在定点问题中，提问的方式很多，但是其求解的方式都有相同的部分，主要是建立在几何图形的基础上，从而进行直线方程与圆锥方程的联系，重新构建等式，解决问题[2]。

二、定值问题

定值问题与最值问题同属于一种类型的问题，主要探究在运动中，所存在的变量变化状况。在这种问题的解答中，主要采用的基础解题方式是找到其中产生变化的主元，从而设置参数，建立参数与其他量的关系，并运用等式表述出来，在运用恒等关系解决问题。也可运用特殊情况计算的方式，探究出定值，最后进行反向的证明与计算[3]。

例二，椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），P（-1，32）为椭圆上的一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，原点为O，已知PF1垂直于x轴。

（1）求椭圆的方程

（2）设A、B为椭圆上的动点，且PA+PB=λPO0（0<λ<4，λ≠2）求证直线AB的斜率为定值。

问题分析：在这一习题中，主要考察了平面向量、直线、圆锥性质等知识，因此在习题中，可直接设直线方程，建立方程之间的联系，从而消去参数，解得问题答案。

解题过程：

（1）x24+y23=1

（2）设直线的方程为x=my+n

与椭圆方程联立化简为（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）

所以x1+x2=8n3m2+4，y1+y2=6nm3m2+4

所以PA+PB=λPO

化为x1+1+x2+1=λ与y1+1+y2-3=-32λ

整合化为

y1+y2-3=-32（x1+1+x2+1）

最后带入x1+x2=8n3m2+4，y1+y2=6nm3m2+4

解得m=2，斜率为12

问题分析：在本题中主要具有计算大特点，因此在解题过程中，考察了学生的计算能力，主要是结合问题条件，建立等量关系，从而运用等量替换、等式变形等方式，消去其中的参数，解得其斜率为定值。

结束语

解析结合的定点定值问题中，考察了学生的思维能力，是对学生的综合性考察，因此在日常的教学中，必须严格要求学生掌握基础知识，在习题解答中更是锻炼其进行知识与思维的总结与深层次考虑，从而提高自身的能力，取得优异的成绩。

参考文献

[1]李伟.解析几何中曲线过定点问题解题思考[J].数理化解题研究，2019（31）：23-25.

[2]吕红霞.如何解答定点与定值问题[J].语数外学习（高中版中旬），2019（07）：39.

[3]郭岚.找准切入点解决解析几何定点定值问题——谈“解几定点定值问题”的复习课教学[J].数学学习与研究，2019（11）：146-148.

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