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巧用“韦达定理”解决一类问题

范文

张学瑛

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》对一元二次方程根与系数的关系（本文以下简称“韦达定理”）给出了“选学内容”的规定，按要求，“选学内容”不得列入中考。然而从数学能力的可持续发展上看，“韦达定理”确实关乎后續很多内容的学习，在高中阶段“韦达定理”也有着广泛的应用。

【关键词】初中数学;韦达定理;解决问题

“韦达定理”是初中数学代数部分的重要教学内容之一，它反映了一元二次方程的两根与系数之间的关系。利用“韦达定理”可以为许多代数方程及其相关问题的解决带来很大的便利，也有助于学生数学思维的培养，除了根据给出的一元二次方程利用“韦达定理”讨论根与系数这样一类常规题型外，还可以根据题目给出的条件结构通过“韦达定理”构造新方程来解决问题，也就是逆用“韦达定理”。

一、“韦达定理”及其逆定理

“韦达定理”：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1，x2满足x1+x2=-，x1·x2=.

“韦达定理”的逆定理：如果x1，x2满足x1+x2=-，x1·x2=，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根.

例1，（2019·广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3，则k的值（）

A.0或2 ? ? ? ? B.﹣2或2

C.﹣2 ? ? ? ? ? ?D.2

【分析】由根与系数的关系可得出x1+ x2=k﹣1，x1 x2=﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解。

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0的两个实数根为x1，x2，

∴x1+ x2=k﹣1，x1 x2=﹣k+2.

∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3，即（x1+ x2）2﹣2 x1 x2﹣4=﹣3，

∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4=﹣3，

解得：k=±2.

∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0有实数根，

∴△=[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，

解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，

∴k=2.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=-，x1·x2=.

例2：（2013·惠州一模）如x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1·x2=，这就是著名的“韦达定理”。现在我们利用“韦达定理”解决问题：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根。

（1）填空：m+n= ? ? ? ，m·n= ? ? ? ?;

（2）计算+的值。

【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解;

（2）先把+通分得到，然后把（1）中的结果代入计算即可。

【解答】解：（1）根据题意得m+n=-=3，m·n=;

（2）原式=

=4.

故答案为3，.

二、利用“韦达定理”的逆定理构造新方程

如果知道题目中有两个字母（代数式）的和与积，则可以利用“韦达定理”构造以这两个字母（代数式）为根的一元二次方程。

例3：解方程组 .

解：显然，x，y是方程t2-5t+6=0 ……① 的两根。

由方程①解得 t1=2，t2=3.

所以原方程组的解为 x1=2，y1=3 x2=3，y2=2.

类似的问题有：

例4：解方程组.

解：分别把、看成整体，构建“韦达定理”模型。

则以、为两根的一元二次方程为t2-5t+6=0.

解得：t1=2，t2=2.

所以或，

即或.

（注意，这是分式方程组，需检验方程组的解）

有些问题，表面看与“韦达定理”无关，但仔细分析，构造出适合条件的一元二次方程，再结合根的叛别式，列出等式或不等式，就能达到目的，这种方法比代入法要简单得多。

例5：已知△ABC的边长分别为a， b，c，且a>b>c，2b=a+c， b为正整数，若a2+b2+c2=84，求b的值。

解：依题设，有

a+c=2b， ? ? ?①

a2+b2+c2=84. ?②

②可变为（a+c）2-2ac=84-b2， ③

①代入③，得 ac=，④

所以a、c是关于x的一元二次方程x2-2bx+=0的两个不相等的正实数根。

即16

又b为正整数，故b=5.

此解的独特之处在于利用a+c=2b，将a2+b2+c2=84转变为ac=，从而构造“韦达定理”逆定理所需的条件。

总之，解题的过程中教师要有意识地培养学生一种良好的分析、审题的习惯。巧妙灵活地应用“韦达定理”，不仅能较好的解题，而且能培养学生良好的思维习惯和敢于探索的精神。

参考文献：

[1]潘龙生.教学，少些一带而过[J].数学通报，2015（01）.

[2]何明.追求逻辑连贯、生长自然的教学设计[J].中学数学教学参考，2015（8）.

[3]马木龙.用教材教：“根的判别式”教学与思考[J].中学数学，2018（12）.

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