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借助几何直观，促进有效建模

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孙丽丽

【摘要】模型素养是学生数学核心素养的重要组成，几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象.如果学生在遇到问题时能够借助几何直观，把问题转化为直观的模型，那么学生就能将遇到的数学问题在思想上进行整体的把握、理解，学会通过模型将抽象的问题直观化.本文旨在探索如何借助几何直观促进知识建模的策略研究，继而提升学生对数学的学习能力，提高学生的数学素养.

【关键词】几何直观;建模;课例

一、问题的提出

笔者通过查阅文献，发现虽然对“如何培养小学生的几何直观能力”“如何培养学生的模型思想”有不少的研究，这些研究或阐述了几何直观能力的培养方法，或介绍如何培养学生的模型思想，但都没有从借助几何直观方面，对如何培养学生的建模思想进行探讨.

从儿童认知发展的角度讲，由于小学中高年段的学生还处在形象思维向抽象思维过渡阶段，而数学建模又是比较抽象和复杂的，为了解决小学中高年段数学建模吃力的现象，教师可以通过观察、操作、推理、归纳，借助几何直观将复杂的数学问题变得形象，帮助学生直观地理解数学，并培养学生的立体感、空间感，以及空间建模思维.

二、相关概念的界定

曹培英在《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》这本书中这样给“模型”下定义：数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量的相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构.

2011年版《数学课程标准》中模型思想是十大核心概念之一.它是这样描述的：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.

史宁中教授在《数学思想概论》一书中说道，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，通过抽象在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过建模建立数学与外部世界的联系.

綜上所述，并通过笔者长期在一线教学对模型课例的探索研究，在小学阶段应该重视模型思想的建构.为了探索模型教学课例的特点，笔者将小学中高年段相关课例进行了梳理，小学数学中的模型包括计算型模型、概念型模型和应用型模型等.用模型思想研究小学数学，不仅是为了获得数学结论，而是让学生从模型的视角去认识、描述、把握数学问题.

三、北师版中高年段关于建模的课例分析

针对教师关于模型课例的实践探索，笔者对本校28位数学教师对模型的课例进行了问卷调查.通过调查，发现92%的教师都是在教学中根据学生的思维特点，借助几何直观促进学生有效建模，90%的教师从教具、学具的使用上和学生的活动实践入手，帮助学生建构模型思想.

四、课例研究及教学策略

小学中高年段的建模教学最为核心的就是让学生借助几何直观，通过观察、分析等方式真正经历建模过程.根据小学生的思维特点，数学教师在教学中要关注表象的作用，引导学生从具体到抽象的过渡，帮助学生更好地把握数学的本质.

（一）引导学生画图，帮助学生建模

大家都知道，当面对一个复杂的问题，若能借助直观图分析数量关系，问题往往能轻松得到解决.通过画图，能把抽象问题具体化、直观化，从而帮助学生厘清思路，找到数量之间的关系，并在画图中逐渐形成模型思想，在数与形的相互转化中，培养学生的思维能力.

“里程表（一）”是北师版三年级上册第三单元的内容，对于三年级的学生来说，里程表的内容比较抽象，所以本节课可运用直观图和线段图帮助学生理解.

师：为了更简洁一点，我们还可以这样画.先画一点，表示北京的位置，用直尺往右画一条稍长的线，表示一段里程，走到这里是石家庄的位置.

师：它们之间还有一个城市，是哪里呢？（板书：保定）为了方便大家观察，我们把里程277千米标在上面，（化弧线，标277千米）146千米表示到哪里的距离呢？（保定）

师：像这样在一条线段上表示里程之间关系的，我们叫它线段图.

在低年段的学习中，学生已经有了初步的读图能力和借助画图的方法解决简单问题的经验.但对于里程表的问题，信息量大，需要考虑的问题和相关因素比较多，使学生的学习难度增大了很多.在课堂上指导学生画直观图和线段图，可使学生充分理解图中所表示出的数量关系，并在图表的比较中直观地理解减法的模型，就是总路程中去掉一部分，求另外一部分路程是多少.

本节课是学生初步认识线段图、理解直观图的起始课.学生在初步感知后，体验到了用线段图表示数量关系的简捷.通过本节课的学习，也为后续学习，如分数问题、路程问题等建模内容做好了铺垫.在日后的学习过程中，我们还可以引导学生通过画线段图分析较复杂的数量关系，帮助学生建立直观模型.

（二）关注教具的使用，辅助学生建模

张奠宙先生说过：“数学模型，是指将一类事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系从数量上加以描述，使人们能更深刻、更准确地认识其数量关系，把握其特征，几何学则是物体外形的数学模型.”小学数学教学有它的特殊性，它需要更多地依靠生活经验与几何直观帮助学生建立模型.

在四年级上册“图形中的规律”一课中，我们通过拼摆教具，帮助学生建立小棒根数等于2n+1，3+2（n-1），3n-（n-1）的几何模型.本节课的内容比较抽象，个别学生并不能充分理解，于是我们通过粉、黄、白三种颜色的小棒进行板书.

以下是教学中的具体片段.

师：如果把每个三角形都按2根小棒计算的话，摆一个三角形需要2根小棒，摆3个三角形就需要3×2根小棒，摆4个三角形就需要4×2根小棒，摆几个三角形就需要几乘以2根小棒，但是第一个三角形用了3根小棒，多用了1根小棒，就加1，为了让大家看清楚，我重新摆一下小棒（1粉2黄2白2黄2白2黄）.

师：谁能用算式表示？

生：2n+1.

接下来，3+2（n-1），3n-（n-1）的几何模型同样让学生动手操作，并用三种颜色的磁力小棒进行摆放，让学生直观深刻地理解不同计算公式的含义.在教学中，我们要借助教具的展示，让学生充分理解数学的本质.

（三）关注学具的使用，强化学生建模

总路程、时间与速度之间的关系是小学阶段的数量关系，也是乘法的模型.教学中，我们可以让学生用折一折纸条的办法理解这个模型.教材在这一节用两个特殊长度的纸条来表示松鼠和小兔所走的路程，非常直观，为后面学生能顺利使用线段示意图做铺垫.用纸条表示两个小动物走的路程，以此启发学生用折一折的方法理解题意，松鼠用了4分钟，就启发学生平均折成4段，兔子用了3分钟，就平均折成3段，再比一比一段的长度，建立“速度=路程÷时间”的几何直观模型.再通过画对应的线段图，引导学生将纸条的表示形式抽象成线段，升华了直观图.把速度具体化、直观化，深化了速度、路程和时间之间的模型结构.

（四）借助立体图形，建立数学模型

立体图形不像其他的数学概念、公式等，需要大量数据来描述支撑，而是具有其独有的特征——立体图形本身就是极好的模型.

以“长、正方体表面积”一课为例，其主要教学思路就是让学生在脑海中建立这样的立体图形模型，并构建出这个立体图形的平面直观图，进而形成具备逻辑关系的公式，从而解决类似的实际问题.

在本节课之前，学生已经掌握了正方体的11种平面展开图，因正方体的特殊性，六个面是完全一样的正方形，因此，本节课的重点是会计算长方体的平面展开图.课前，教师准备了一个大的长方体模型教具，旨在让学生建立形象直观的模型.几乎所有学生都能通过长方体的特征，通过直观演示法，给出求长方体表面积的方法：因为长方体相对面的面积相等，则可以求出其中三个面的面积之和再乘2.但是在自己求解的过程中，对于求哪三个面的面积以及如何求这三个面的面积，部分同学出现了问题.于是，教师给出了長方体的平面展开图，进一步通过直观演示，找到了对应的六个面，并总结出了相应的计算公式.

常规的教学到这即可结束，但教师仍在继续拓展：请学生思考是否还有其他的求解方法.有学生表示，可以用转化法，把长方体的表面积转化为长方体的侧面和上下两个底面积之和，再次将图形回归至立体.但是很明显，这种方法因不少同学想象力不足，无法在头脑中构建出这个模型.但是到这已足够，了解这些，可为六年级学习圆柱表面积做铺垫.

本节课的主要教学思想就是构造一个由立体图形到立体图形中的平面图形，再到立体图形这样的循序渐进的过程，逐步构建长方体表面积计算的数学模型，进而培养和发展学生初步的空间想象能力.

利用几何直观能让学生将直观的图形语言和抽象的数学语言有机地结合起来，使形象思维和抽象思维结合起来，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点.通过图形的直观性质阐明数与数之间的联系，能将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化、相互渗透，为学生数学建模的学习开辟了一个重要的途径.

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准：2011版[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]朱峰，许光新.对建构数轴模型的认识与思考[J].中小学数学，2016（3）：44-48.

[5]朱贵玺.小学数学建模教学应注意的三个问题[J].教学与管理（小学版），2017（3）：29-31.

[6]徐凤霞.小学数学“数学建模”教学策略及应用[J].好家长，2018（29）：72.

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