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浅谈合情推理在分式教学中的应用

范文

韩安国

摘要：推理是初中阶段学生必须掌握的基本能力之一，直接影响着学生解决问题的能力以及学习效率。人教版八年级上册数学课本对分式的概念、性质、应用等方面的编排都体现了类比、归纳的数学思想，而合情推理是类比和归纳的综合体现，将它应用到实际的数学课堂中，可以有效培养学生的推理能力。

关键词：合情推理;初中数学;分式

逻辑推理作为不可或缺的数学能力，是六大数学核心素养之一。波利亚指出：论证推理可以用来肯定数学知识，而合情推理则可用来为猜想提供依据。可见，合情推理在数学的产生与发展过程中具有十分重要的作用。但传统的初中教学模式下，大部分教师仍以引导学生进行论证推理，发展演绎推理能力为主，而忽略对学生进行归纳类比、联想等合情推理能力方面的培养，也就是直接将数学知识的推理过程和结果展示在学生的眼前，没有创设学生合情推理的机会和空间，学生无法体验推理在数学学习中的乐趣，也使学生无法从根本上实现自身推理能力的提升。《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中，推理包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论。人教版初中数学八年级上册数学课本在本册导引中指出：在分式这一章你将看到，分式与分数就像姐妹一样，有很多的特征，将类比分数学习分式。也就是说，分式的概念、性质、应用等方面的编排都体现了合情推理的思想方法，但是具体的落实过程还需要一线教师结合实际教学过程加强融合。因此，教师要联系已有的教学方式，结合学生的认知情况，让合情推理回归课堂。在分式教学中有机融入类比、归纳的推理，有利于学生对新知识产生合理性的理解，便于学生归纳复杂的数学难题，从而提高学生的学习效率。

一、合情推理的内涵和意义

合情推理，是指人们运用自己在日常生活学习中获得或积累的现有知识经验，通过自身观察、联想、猜想、直觉、归纳、类比、实验等，非演绎的（或非完全演绎的）思维形式，构作出关于客体的合乎情理的认知过程。合情推理在初中数学学习中最常用的思维方式，就是归纳推理和类比推理。合情推理在数学教学中的科学运用，对于激活学生的创新思维，培养学生的数学意识是非常有帮助的。最近几年的中考数学试卷中出现了一些引导学生进行合情推理的试题，目的就是要让学生不仅要从理论上理解什么是合情推理，更要通过实践运用，通过观察、实验、猜想、验证等过程真正体验数学知识的形成过程。

二、类比在分式教学中的融合

类比是根据某两个对象具有一些相同或相似的属性，其中一个对象具有某一属性，从而推测另一对象也具有这一属性，其实质是从特殊到特殊的推理过程。初中数学知识是一环衔接着一环，例如，在学习和探索分式之前，都需要复习和联系已经学习过的分数，对分式概念的了解和分式性质的掌握做好充分的认知准备，通过新旧知识进行深入的类比，达到学习分式的目的。

1.类比在分式基本性质教学中的应用

师：复习分数的基本性质。

师：结合分数的基本性质，是否可以类比出分式的基本性质？

生：可以推出分式的基本性质。

师：把全班学生分为几个小组，以小组合作学习的形式讨论分式的性质，从分数的基本性质类比出分式具有哪些性质。派小组代表展现小组的思考结果。

生1：分式的分子和分母同时乘以一个不为0的整式，值不变。

生2：分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，值不变。

师：同学们回答得很好，下面我们一起总结分式的基本性质：

分式的分子与分母同时乘以或者除以一个不为0的整式，分式的值不变，用式子表示为：

師：分数与分式的基本性质的联系与区别是什么？

生：分式的分母中含有字母，由于字母可以表示数，所以可以认为分数是分式中的字母取某些值时的结果，因而分式更具有一般性，分式的性质是分数的性质的推广，因此我们从分数出发认识分式就是从具体到抽象、从特殊到一般的认识过程。

2.类比在分式约分教学中的应用

活动1：把下列分数化为最简分数：

学生抢答。

师：分数化简的关键是什么？

生：找分子分母的最大公因数，然后约去。

活动2：把下列分式化为最简分式：

学生思考尝试解答。

师：类比分数的约分，你觉得分式的约分关键是什么？

生：找出分子分母相同的部分，然后约去。

师：思路很清晰！分子分母都是整式，如何去找两个整式相同的部分？

生：我想到了公因式。

师：公因式怎么得到？

生：如果分子分母都是整式积的形式，直接提公因式;如果不是整式乘积的形式，先因式分解，再提公因式。

师：非常正确！找到分式约分的方法了吗？

生：只需要找到分子分母的公因式，然后约去就可以了。

师：非常棒！同学们借助类比自己探索出了分式约分的方法。接下来请同学们独立完成上述练习，体会发现的喜悦与成就感吧！

3.类比在解分式方程教学中的应用

教师：解一元一次方程的解题步骤是哪些？

学生：去分母、去括号、移项、合并同类型、化系数为1。

化简得：3x=4（x-1）

去括号得：3x=4x-4

移项得：3x-4x=-4

合并同类项得：-x=-4，

化系数为1得：x=4。

教师：让学生以观察、猜测、分析作为基础，通过类比、总结、猜想解分式方程的步骤。

学生：去分母、去括号、移项、合并同类型、化系数为1。

化简得：90（30-v）=60（30+v）

去括号得：2700-90v=1800+60v

移项得：-90v-60v=-2700+1800

合并同项得：-150v=-900

化系数为1得：v=6

教材是学生获得知识的重要材料，分式的教学内容中，注重学生类比能力的培养，将类比方法贯穿始终。在利用类比推理推测新知识的过程中，教师将旧知识和新知识的联系展现在学生的眼前，给学生提供猜想推测、展示自我的机会，帮助学生获得完整的推理体验，进而加深学生对新知识的印象，培养学生的逻辑思维和解决问题的数学意识。

三、归纳在分式教学中的融合

归纳是观察和综合事物或特例的一部分特征和属性，然后提出一般性结论和规律的过程，也就是由特殊到一般的认识过程。在分式的教学中，教师正确引导学生学会归纳推理的方法，可以帮助学生培养起合情推理能力，从而达到事半功倍的学习效果。

1.利用归纳思想导出分式的相关概念和法则

（1）分式的概念

师：观察代数式有什么共同点？学生观察后尝试归纳。

生1：与分数的形式相似。

师：很好！这位同学通过类比将这类型代数式与分数联系起来！

生2：分子分母上都是整式。

师：说得对！

生3：分母中都含有字母。

师：观察得非常仔细！分子上有这样的限制吗？

生3：分子是整式即可！

教师请学生归纳总结。

生4：分子分母都是整式，分母中含有字母。

教师引出分式概念：

一般地，如果A、B分别表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

（2）分式的加减法则

归纳推理是从特殊到一般的推理，需要有较强的观察能力、分析能力、类比能力。以上的解题过程先用归纳得到结论，再分析类比的思想，也就是既有归纳推理，又有类比推理。

2.利用归纳思想探讨分式方程中参数求值的问题

当a为何值时，下列分式方程无解。

解：分式方程化为整式方程：（a+1）x=25

（1）當a+1=0时，分式方程无解，a=-1

（2）当x=5时，分式方程无解，a+1=5，a=4

（3）当x=-5时，分式方程无解，a=-6

从而归纳出a的值是-6，-1，4时，分式方程无解。

在分式教学过程中，引导学生类比分数学习分式，综合归纳题目可能出现的各种情况，加深学生对新旧知识的衔接，激发学习兴趣，有效提高学生数学学习的效率，缩短学生解决问题的时间，对学生未来的成长和发展有着十分积极的影响。

参考文献：

[1]G.波利亚.数学与猜想[M].李心灿，王日爽，李志尧，等，译.北京：科学出版社，2001.

[2]崔克忍，武江红.合情推理课堂教学模式[J].教学与管理，2002（22）：61-62.

[3]郑纯达.以合情推理为教学核心任务，探究初中数学思想教学[J].数学教学通讯，2019（9）：3-6.

[4]周玉.合情推理在初中数学教学中的运用[J].上海中学数学，2014（12）：19-21.

[5]孔凡哲，李寒月.在类比和转换中掌握分式和分式方程[J].中学生数理化，2007（2）：4-5.

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