《高中解析几何简化计算之点乘双根法》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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高中解析几何简化计算之点乘双根法

范文

陈俊健

【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解.利用韦达定理进行运算求解时，稍不注意就容易出错.在求解点乘或者斜率乘积为定值，甚至求x1x2，y1y2的时候，我们可以改进解法，引入点乘双根法，避开韦达定理，简化计算，减少失误.

【关键词】解析几何;点乘双根法;简化计算

我们知道当二次函数有两个零点的时候，可以写成双根的形式：y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.在解析几何中，出现PA·PB等于常数，可用点乘双根法（其中P为已知点，A，B为直线与圆锥曲线的交点）.方法如下：联立x2a2+y2b2=1，y=kx+m，可得b2x2+a2（kx+m）2-a2b2=（a2k2+b2）（x-x1）（x-x2），接着对x用赋值法即可得到x1x2，y1y2或者（x1+t）（x2+t），代入PA·PB的等式求解即可.

点乘双根法对比常规解法，其优点在于，避开利用韦达定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的效果，下面举例说明.

例1 （2018年西南四省名校高三第一次大联考）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），过F且与x轴垂直的弦长为3.

（1）求椭圆标准方程.

（2）直线l过点F与椭圆交于A，B两点，问x轴上是否存在点P，使PA·PB为定值？若存在，求出P的坐标;若不存在，说明理由.

解（1）易得椭圆标准方程为x24+y23=1;

（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y=k（x-1），联立x24+y23=1，y=k（x-1），

得3x2+4k2（x-1）2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

设P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则PA=（x1-m，y1），PB=（x2-m，y2），

PA·PB=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=m得

（x1-m）（x2-m）=3m2+4k2（m-1）2-123+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=1得（x1-1）（x2-1）=-93+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并整理得

PA·PB=（4（m-1）2-9）k2+（3m2-12）4k2+3，

所以（4（m-1）2-9）4=3m2-123，得m=118，

此时PA·PB=-13564.

当直线l的斜率不存在时，A1，32，B1，-32，P118，0，仍有PA·PB=-13564.

综上所述，P的坐标为P118，0.

评析在（Ⅰ）式中联立直线与圆锥曲线方程消y后，一定要把式子写成双根的形式，才能接著往后进行赋值求解.

例2 （2018年桂林市、贺州市高三联合调研考试）已知点1，32在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，且椭圆的离心率为12.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若M为椭圆C的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于M）且满足直线MA与MB斜率之积为14.试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标;若不是，说明理由.

解（1）易得椭圆标准方程为x24+y23=1;

（2）当直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m（k≠0），联立x24+y23=1，y=kx+m，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

由题意有M（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则

kMAkMB=y1y2（x1-2）（x2-2）=（kx1+m）（kx2+m）（x1-2）（x2-2）=k2x1+mkx2+mk（x1-2）（x2-2）=14.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=2得

（x1-2）（x2-2）=16km+16k2+4m23+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=-mk得

x1+mkx2+mk=3m2k2-123+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并解得m=-2k或者m=4k.

当m=-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2）过定点（2，0），与点M重合，不符合题意，舍掉.

当m=4k时，直线AB的方程为y=k（x+4）过定点（-4，0）.综上所述，直线AB过定点（-4，0）.

评析例2（Ⅱ）中需要求y1y2，但在（Ⅰ）式没法用赋值法得到（kx1+m）（kx2+m）.因此需要把x1和x2的系数k提到括号前面，得到y1y2=k2x1+mkx2+mk即可.

通过上面两道例题，我们可以比较详细地了解到点乘双根法的整个过程与优点.例1展示了常规的点乘双根法，例2展示在处理过程中需要注意的细节.请读者自行用传统法求解上述两道例题，对比点乘双根法的优点.

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