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两类齐次不等式的推广

范文

黄武　田润丽

【摘要】本文将两类特殊齐次不等式，推广到m个变量的n次齐次不等式，并用算术-几何均值不等式对其进行证明.

【关键词】齐次;不等式;推广

一、简单结论

结论1：若a，b，c∈R+，则有

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

结论2：若a，b，c∈R+，则有

a5+b5+c5≥a3bc+ab3c+abc3.

以上两个结论的证明过程详见文[1].

笔者研究发现，以上两类齐次不等式都可以推广到m个变量的n次齐次不等式，为了方便证明，先引入算术-几何均值不等式.

二、引理

算术-几何均值不等式：对n个任意的非负数ai（i=1，2，…，n），有

a1+a2+…+ann≥na1a2…an（1）

成立，當且仅当a1=a2=…=an时上式取等号.

令bni=ai（i=1，2…n），由引理得

bn1+bn2+…+bnn≥nb1b2…bn.（2）

当且仅当b1=b2=…=bn时上式取等号.

三、推广

将结论1推广到m个变量的n次齐次不等式.

推广1 设xj≥0（j=1，2，…，m），对任意正整数n，m（n≥m）有以下式子成立：

xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1.

证明因为xj≥0（j=1，2，…，m），n≥m，根据（2）式可得

xn1+…+xn1（n-m）个+xn2+…+xn2m个≥nxn-m1xm2，

xn2+…+xn2（n-m）个+xn3+…+xn3m个≥nxn-m2xm3，

…

xnm+…+xnm（n-m）个+xn1+…+xn1m个≥nxn-mmxm1，

以上不等式两边分别相加得

xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1

即可证，当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.

将结论2推广到m个变量的n次齐次不等式.

推广2 设xj≥0（j=1，2…m），对正整数n，m（n≥m）有以下式子成立：

xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm（xn-m1+xn-m2+…+xn-mm）.

证明因为xj≥0（j=1，2…m），n≥m，根据（2）式可得

xn1+…+xn1（n-m+1）个+xn2+…+xnm≥nxn-m+11x2…xm，

xn1+xn2+…+xn2（n-m+1）个+xn3+…+xnm≥nx1xn-m+12x3…xm，

…

xn1+xn2+…+xnm-1+xnm+…+xnm（n-m+1）个≥nx1x2…xm-1xn-m+1m，

以上不等式两边分别相加得

xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm（xn-m1+xn-m2+…+xn-mm）

即可证，当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.

三、特例

例1 若a，b∈R+，对任意正整数n，m，有

am+n+bm+n≥ambn+anbm.

证明略.

例2 （1991年美国《大学数学杂志》第四期征解题）若xi≥0（i=1，2…n），则有

xn+11+xn+12+…+xn+1n≥x1x2…xn（x1+x2+…+xn）.

证明略.

本文对两类齐次不等式进行了推广，拓展了应用范围.推广的证明和结论，在部分齐次不等式的解题中，具有一定的实用价值.

【参考文献】

[1]李再湘.让思维充满思想，让思想充满智慧——平均值不等式解题功能的挖掘[J].中学生理科应试，2003（9）：1-2.

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