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基于数学思想方法指导下的试题研究

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张海毅

摘要本文结合一道高考数学试题，从高中数学思想应用方法的视角赏析该试题的各种解法，并说明如何将题目“放得出去”多解“收得回来”，从而整体把握这些解法。

关键词数学思想方法赏析一题多解

中图分类号：G623.5文献标识码：A

一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一问题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。每个人对題目条件有不同的表征方式，思维的出发点也会有所不同，方法选择也就多种多样。“数学是思维的体操”，数学课堂中一题多解的练习不仅能训练学生的发散思维、激发学生的创新精神，还会促进学生将固有的知识进行类比、整合，从而使学生体验到成功的喜悦。《普通高中数学课程标准》强调对学生创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，在教学中通过一题多解将数学思想方法渗透于其中，进而提升学生的数学综合素养。

下面，笔者以2017年高考数学浙江卷理科第15题为例，从题目条件表征的多角度赏析各种解法，并就如何将题目“放出去，收回来”，从整体上把握这些解法谈谈自己的思考。

题目：已知向量，满足，则的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

视角一：转化与化归思想。

可设，

，

又

故当时，的最大值为20;当时，的最小值为16，故。

评析：此法借助了圆的参数方程，将问题转化为三角函数问题，以其有界性为抓手求得了结论，，可作为此类问题的通法重点介绍。

视角二：函数与方程思想。

设，则，，

所以，又，

故。

评析：此法重点关注了影响目标的变化因素，恰当地借助两向量的夹角为自变量，建立了目标函数，从而得解。

视角三：整体思想与数形结合思想。

（1）易知。

不妨设，则，.

如图1，点的运动轨迹为，令，则表示以为斜率的直线与有公共点时直线在轴上的截距，由图可知：当直线过点，时，;

当直线过点，即直线与弧相切时，。

评析：此法重在转化，通过分析题目条件，将一个向量问题转化成了平面上两条曲线的公共点问题，使得问题瞬间清晰、明了，十分精彩。

（2）令，则，

不妨设，则，由方法三可知点的运动轨迹为，令，则，，其中影响该函数的增长率。

由图可知，当过点、时，该函数增长率最小，故;当过点，即曲线与弧相切时，该函数增长率最大，故。

所以，故。

评析：此法通过向量模的常用计算方法，转移了最值目标，结合变量的轨迹方程，将新的目标函数定位于影响双曲线型函数的增长率的角度，借助数形结合使问题得以解决。

视角四：分类与整合思想。

令，

则，

，等号成立，当且仅当即。如图，因为，故可设向量，，则在上，在上，取线段的中点，

则

，

又，，

所以，等号成立，当且仅当、、三点共线。

评析：此法在求最大值时恰当地借助了均值不等式，在求最小值时借助了平面向量加减法的平行四边形法则，两角度同时进行，使问题得以解决。

视角五：特殊与一般思想。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （下转第206页）（上接第197页）

因为，故设，，令，则，该式描述了动点到两定点、的距离之和，其中点位于圆上。

如图2，为椭圆上任意一点，则，设交圆于点，则，当且仅当、重合于时，;由三角形性质可知，等号成立，当且仅当点位于，故。

评析：此法通过合理设值，巧妙地减少了变量，从而借助几何意义求得了目标函数的最值，计算量小，直观形象，充分体现了特值特设思想的优越性。

面对这些解法，教师应“放得出去，收得回来”，进而帮助学生整体把握并深刻理解其中所蕴含的思想方法。

第一，以上6种解法大致可以分为两类：第一类解法具有通法通性，如解法1、2;第二类解法充分关注了题目条件的特殊性，如何针对一道题目选择合适的解法，需要对题目的条件表征做深入的思考。

第二，解法虽有差别，但他们都从不同的角度解析了题目条件，从而呈现了“条件的发散，结论的集中”，题目入手测度不同，解答的角度自然也就不同，所使用的思想方法也就有差异。

第三，应重点关注解法1、2、6中所运用的三角函数工具，它是联系函数、平面几何、向量等知识的重要媒介，要让学生通过比较分析，从内心深处认同其工具性价值，从而将其应用于日常学习。

数学观察能力是一种有目的、有选择并伴有注意的对数学材料的知觉能力或初步的加工能力，知识是思想方法的载体，传授书本知识是最基本的教学要求，沉溺于题海的作法是得不偿失的，掌握数学语言和数学表达，思维的逻辑、灵活、缜密和准确等，是数学素养的表现，数学学习在于掌握书本知识，更在于养成良好的思维习惯。

高中数学思想方法的以一种高端的思维方法涵盖了高中数学问题的学习和解决问题过程，并在知识的不断增长的过程中发展创新思维。高中数学课程的目标指出学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中“所蕴涵的数学思想和方法”。把高中数学思想纳入高中数学课程的目标，体现“双基”向“三基”的转变，必将对教学的有效性和创新教育产生深远的影响。

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