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三种常见插值方法思想比较及适应性分析

范文

于秀君

摘要函数插值法是解决实际问题经常会用到的一种方法，在计算数学中占据非常重要的位置，被应用于各个领域。本文就拉格朗日插值法、牛顿插值法以及牛顿型埃尔米特插值法的构造进行了简单的概述，并对其各自的优缺点及其各自的适应性进行了分析。

关键词拉格朗日插值法牛顿插值法牛顿型埃尔米特插值法

中图分类号：TN927.2文献标识码：A

0引言

函数插值法，简称插值法，正是函数插值法在对现实优化问题的解决过程中起到的重要，决定了函数插值法在数学、天文学等各大领域均被得到广泛应用，在当前最普遍的大机器生产过程中也凸显出了举足轻重的作用。

所谓插值就是从一组离散数据中求得我们所需要的、未直接给出的中间值。例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值才能加工出表面光滑的零件。

构造一个函数作为的近似表达式，的构造则主要依赖于已知的函数值，而后计算在区间上的值作为原函数在这一点的近似值，这是插值函数的核心。其中需满足以下要求：

（1）次数应该不超过、其表达式足够简单，图像足够光滑;

（2）在已知定点处。

函数插值既是一个重点性知识，又是一个容易令人困惑的难点。在日常应用过程中常常会出现各种对插值方法混淆的问题。基于函数插值的重要地位，本着能更好地将常见的插值方法进行明确的区分的目的，便于在日后的应用过程中更加熟练，本文就拉格朗日插值法、牛顿插值法以及牛顿型埃尔米特插值法的构造进行了简单的概述，并对其各自的优缺点及其各自的适应性进行了分析。

1拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值基本形式简述

1.1拉格朗日插值

拉格朗日插值法可以说是函数插值方法中最基本的一种插值方法，而插值基函数构造的准确性将直接影响着所构造多项式的效果。要构造拉格朗日次插值多项式，首先在已知的个节点处分别构造次插值基函数。

2三种插值方法优缺点评述

2.1拉格朗日插值评述

拉格朗日插值法无谓就是利用已知的个插值节点及其所在节点处的函数值，在每个插值节点处构造相应的插值基函数，再根据特定的线性关系将这个插值基函数进行线性组合，即得拉格朗日插值函数。

通过了解拉格朗日插值法的构造过程，基函数的构造凸显出尤为重要的作用，占据了拉格朗日插值多项式构造的核心地位。基函数的个数应与节点的个数一致，且基函数的构造应与每个节点息息相关。然后将这些基函数进行线性组合就是拉格朗日插值函数。用几何的语言来描述这种方法就是将有限个点通过一条光滑的且与高度契合的次数不超过的函数来表示，其方法简洁明了，但是拉格朗日插值多项式在实际应用的过程中也暴露了本身存在的问题。如果对数据点的个数进行增加，那么原来我们所得的拉格朗日插值函数就毫无用处，必须从基函数构造重新开始整个过程。在实际应用中节点的增减是特别普遍常见的，面临这种情况拉格朗日插值法就难免会面临较大的局限性，不仅会浪费时间，也会造成先前劳动力的浪费，这样就会极大的抑制大机器的生产，更加体现不出函数插值法的优化作用。

2.2牛顿插值评述

牛顿插值很好地解决了上述拉格朗日插值中的局限，即当增加节点时已得成果无法被利用的问题。

在对牛顿插值方法步骤的总结过程中，我们可以很容易地看出当数据点个数加一时，牛顿插值法仅需在已有的多项式的基础上添加一项即可，这就很好的解决了上述拉格朗日插值方法所遇到的当增加节点时已得成果全部作废无法被继续使用的问题。

在日常实际问题解决过程中，利用有限个插值节点所构造的插值函数可能并不能达到我们所要求的插值精度。对于这个问题如果我们仅从增加插值节点个数这一方面来入手很可能会起到相反的作用。运用运筹学的知识，我们知道当插值节点的个数达到最优的时候，我们再增加插值节点就会偏离最优解所得到的插值效果，尽管插值函数是不间断的，从这个角度来说牛顿插值在插值优化方面还存在着很大的问题，这就需要我们去探求其他的方法。

2.3埃尔米特插值评述

通过对前面拉格朗日插值法和牛顿插值法的分析，我们可以很明显的观察到这两种插值方法的构造仅仅与插值节点以及插值节点处的函数值有关，并没有涉及到其它约束条件。但是如果插值条件不仅含有对节点处的函数值的约束，而且还增加对节点处的导数的限制，解决这一类问题的方法就要利用埃尔米特插值多项式。

埃尔米特插值方法实际上就是在上述两种插值方法的基础上通过对节点处导数的约束条件再进行一次插值求得，然后在已得的插值多项式上添加。对比上述拉格朗日插值方法和牛顿插值方法，埃尔米特插值具有较高的精度可以应用的领域更加宽泛，更加适应于实际问题的解决，所以在现实生活中也就凸现出高度的灵活性和适应性。而对于埃尔米特插值方法的进一步优化也是值得我们花费更多的时间与精力去进行更加深入的探讨。

3适用性分析及总结

经过对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及牛顿型埃尔米特插值法的简单概述我们可以很清楚的看出，利用插值基函数的拉格朗日插值法的插值过程简单易懂，对于数据较少且比较简单的数据而言较为实用，但当数据多且复杂时若不借助计算机则求解起来就显得较为困难。牛顿插值法的优点就是计算较简单，尤其是增加节点时，插值函数只需要在原有的插值函数的基础上增加一项，这是拉格朗日插值所无法比拟的，可是牛顿插值依然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在插值节点处有尖点、不光滑，插值函数在插值节点处不可导等缺点。如果插值条件不仅含有对节点处的函数的约束，而且还增加对节点处的导数的限制，解决这个问题的方法就要利用埃尔米特插值多项式。而在真正的应用过程中，这三种方法还是存在着很大的区别，简单的说拉格朗日插值法和牛顿插值法更加适应于理论应用，埃尔米特插值法则更加普遍用于实際问题解决。

經过作如上的评述总结，整个插值法这部分内容仍存在些许未解决的问题。从而鲜明的凸显了本学科的特点：

（1）作为一门边缘学科，在实际应用过程中还存在问题，但在这个过程中运用了新的发展。较传统数学而言有了很大的突破。

（2）应时代的要求方法必须更注重程序化，有利于机器的运算。

插值法在当今这个大机器生产的时代发挥着十分重要的作用，被应用于各个领域。但在大机器数字化的时代仍存在着较大的缺陷，为了让插值函数给我们的生活带来更大的效益、让它的优越性发挥到极致，其方法的优化值得我们进行更深一步的探索。

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