| 标题 | 笔算除法为什么从高位算起？ |
| 范文 | 熊清 摘要：对于加法、减法和乘法来说，从低位算起的计算规则是学生探究比较后得出的结论，是自然而然的选择。除法竖式和其他的运算一样，计算方法不是唯一的，既可以从高位算起，也可以从低位算起。通过经历多样化算法的筛选过程，在比较中做出进一步的选择，自然而然地感受到：从高位算起的计算规则适合所有类型的除法。 关键词：模型;过程;竖式 中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：（2021）-06-181 问题：在用竖式计算加法、减法、乘法的时候，都是从低位算起的，为什么除法的竖式却要从高位算起？ 分析：究其原因，大抵是受前面加法、减法、乘法竖式计算的影响，产生了负迁移，误认为除法竖式和它们一样都是从低位算起。因此，在学习中，有学生对除法从高位算起的计算规则产生了疑惑。各版本小学数学教材都没有对这一计算法则做出直接的解释，只有北师大版教材略有提及。 我在小范围内做了调查，一线教师大致有以下几种想法：1.除法從高位算起，简便。 2.从分物品的现实经验出发，先分多的部分，再分少的部分。3.这是除法竖式计算的运算法则。 总体上来看，教师对这个问题的认识还存在盲区，较少主动思考这样的问题。面对这样的数学规定，恐怕不是简单的“简便”二字可以说的明白的。数学规定不是冷面刻板的，它的背后一定潜蕴着丰富的自由思维，隐藏着某种必然的缘由。这需要教师在备课中进行深入的研究，并通过合适的载体让学生发现计算规则的合理性。 一、“笔算除法从高位算起”的合理性究竟在什么地方？ （一）基于除法模型的解释 除法计算是平均分的数学模型。比如54÷3，我们可以理解为：把54根小棒平均分成3份，每份能分多少根？平均分我们既可以从大单位开始分，也可以从小单位开始分。 从大单位开始分，结果是这样的：①先把5捆小棒平均分成3份，每份1捆，②剩下的两捆和4根再来平均分，每份8根。③最终每份分到1捆带8根，一共是18根小棒。 如果从小单位分，结果则是这样的：①先把4根小棒平均分成3份，每份1根，还剩1根。②接下来把51根小棒平均分成3份，单根的不够分，分5捆，每份1捆，还剩2捆。③2捆和1根共21根，平均分成3份，每份7根。④把三次分得的结果相加：1+10+7=18根小棒。 通过上述平均分的过程可以看出，在分物品的时候，从小单位分会比从大单位分的过程复杂（这在分数位更多的大数时会体现的更明显）。结合实际生活，在在平均分的时候，我们更愿意从大单位开始分，这就对应着除法竖式中的从高位算起。 （二）基于计算过程的解释 除法竖式和其他运算方式一样，都归结为各个数位上的一位数的计算。在一些除法竖式中，比如48÷4、639÷3等等，被除数每个数位上的数字都能被除数整除，这一类型的除法从低位算并不会使计算变得复杂，但是现实更多的情况是各数位上的数平均分后会出现不够分或者有剩余的情况。在这种情况下，从低位算起，计算的复杂程度会加大。低位的前一位除后余下的数退到低位继续除，可能会影响原来低位上的商。如果每一次计算中都产生余数的话，整个过程中要记住每一次计算产生的余数，比较复杂。 比如计算51÷3，个位1÷3不够除，从十位退1，算11÷3=3……2，十位上剩余的4和个位上的余数2合起来是42，再用42÷3，这时又遭遇了个位不够除的情况，需要从十位退1……，最后还要把若干次所得的个位上的“过程商”相加。被除数的位数越多，从低位算起时遭遇较高位“退1”的步骤可能越多，计算的过程太过繁琐。 （三）基于除法竖式书写形式的解释 学生第一次接触除法竖式是二年级学习有余数的除法的时候，学生通过动手操作，对除法竖式中每一步表示的意义非常明确，除法竖式完整的记述了计算的过程。 在两、三位数除以一位数的竖式计算中，从高位计算也能完整的展现思考和计算的过程，如果从低位算起，余数会出来“捣乱”，也无法通过一道竖式展现思维的全过程。 除法竖式不是不可以从低位算起，但是从低位算起有可能带来计算过程的混乱，进而影响最终的计算结果。就像加法、减法和乘法一样，如果不出现进位（退位）的情况，从高位算起也可以的，但是在有进位（退位）的时候，从高位算起就不方便了。通过计算过程的比较与辩论，发现从低位算起更加简洁明了，是对所有数据通用的简洁高效的方法。类比到笔算除法里也是一样的道理。不管是加法、减法和乘法的从低位算起还是除法的从高位算起，算法的统一，都凸显了计算程序的最优化，计算过程的简洁性。 二、教学建议 除法竖式虽是程序性规则的教学，但是也不适宜用直接告知的方式呈现。“数学规定需要解释，学生有这份期待;数学规定的解释需要有理有据，让学生能够接受。”通过探索性学习，让孩子体悟计算规则的合理性、简洁性，这样规则的教学才是有生命力的。 （一）着墨动手操作，对接直观与抽象。 在除法竖式的教学中，教师可以沿着“实物操作——形成表象——符号化的表达”这一过程展开。两三位数除以一位数的教学，虽然不是学生第一次接触除法竖式，但是教师要尤其重视计算之前的动手操作，在操作中明确计算的道理，然后再进行具体的计算。 例如，将54个羽毛球平均分给2个班，每个班分得多少个羽毛球？首先，请学生用小棒代替羽毛球进行分一分，通过展示不同的分法，让学生感受到分东西时从大单位5捆小棒开始分会更加简洁。然后，让学生通过语言或者画图的方式表述分小棒的过程。接着，让学生把分小棒的过程用竖式表达出来，从大单位开始分，就意味着从高位除起。最后，得到除法竖式计算的规则。如果没有动手操作分得过程，学生对笔算除法只是依葫芦画瓢，知其然，没有知其所以然。 学生完整体验从实物操作到竖式表达，沟通了除法竖式直观到抽象的联系，竖式计算的过程是学生的自主建构，在这种建构中学生自然的就明晰了除法竖式从高位算起的道理。 （二）设计合适的教学素材，实现计算方法的自然优化。 对于加法、减法和乘法来说，从低位算起的计算规则是学生探究比较后得出的结论，是自然而然的选择。除法竖式和其他的运算一样，计算方法不是唯一的，既可以从高位算起，也可以从低位算起。虽然有的计算过程复杂，但是并没有原则上的错误。除法竖式的学习中，我们是否也可以给学生提供自然优化的机会呢？教学由84÷4 396÷3这样的算式切入，再深入到87÷4，385÷3，甚至还可以出示更大数据的算式。让学生真正经历多样化算法的筛选过程，在比较中做出进一步的选择，自然而然地感受到：从高位算起的计算规则适合所有类型的除法。 参考文献 [1]金成樑.小学数学疑难问题研究[M].南京：江苏教育出版社，2010：37. [2]高敏.规范，都曾经不规范——浅谈小学教学中的竖式计算教学[J].中小学数学，2016（06）. [3]季国栋.关于数学规定的理性思考和教学实践[J].课程·教材·教法，2014（5） |
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