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方程与函数思想在三角函数问题中的应用

范文

范文波

摘要：方程与函数思想是中学数学常用的数学思想方法，在三角函数问题的解决中，可以将问题转化为熟知的方程问题或函数问题使问题得以更好地解决。本文就（1）方程思想在三角函数求值中的应用，（2）运用方程思想解三角函数证明题，（3）构造一元二次方程求三角函数值域，（4）运用方程思想解三角函数范围问题，（5）构造二次函数证明三角函数不等式，（6）构造函数求三角函数最值，（7）运用函数思想解三角函数范围问题，（8）函数思想在三角函数不等式中的应用进行了初步探讨。

关键词：方程思想? 函数思想? 三角函数? 应用

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-15-386

引言

三角函数是代数中的重要内容，三角函数题目运用三角公式繁多，技巧性强.如果能注意数学思想方法的运用，那么有些复杂的三角函数问题就容易解决[2]。

函数与方程思想是中学数学中经常考查的问题。运用函数的有关性质解决某些问题，或以运动的观点分析和研究具体问题的数量关系，再通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。有些从形式上并非函数问题，但经过适当的数学变换或构造，可以使这一非函数问题转换为函数的形式。对于方程思想同样如此，要把解决的三角函数问题转换为方程的形式，使三角函数问题得到很好的解决。

方程思想[2]是指当一个问题可能与某个方程建立联系时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决问题。在三角函数问题中，方程思想的运用使三角函数问题得以优化。方程思想在三角函数问题中的运用，可以将问题转化为熟知的方程问题，通过解方程组或不等式组，使问题得以解决。

②函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。在三角函数问题中，函数思想充当中介作用，通过构造函数或转换为函数的形式，根据函数的性质研究、解决问题。函数思想最大特点就是从变化、动态的观点来认识数学对象和它们的性质之间的关系。这能够更全面、深入地认识事物的本质。

三角函数问题可以转化为熟知的函数问题，通过分析函数的性质来解决问题。

综合上述，三角函数问题可以转化为熟知的方程问题或函数问题，使问题的解决得以优化。

方程思想

方程思想是指当一个问题可能与某个方程建立联系时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决问题。在三角函数问题中，方程思想的运用使三角函问题得以优化。

1.方程思想在三角函数求值中的运用

例[1] 1已知，，求的值.

小结：在做此题前，首先要观察已知与所求之间有什么联系。此题中我们需要掌握正切与正弦、余弦之间的关系，还需掌握正弦函数两角和与差的展开式，通过观察式子，列出方程组，求解方程组，即可求出的值.

2.运用方程思想解三角函数证明题

我们从方程的角度来看，一个三角函数等式可以视为某个三角函数式的方程，从而借助方程根的性质，找到解决的思路，实现三角函数等式或不等式的证明。

例2[2]? 已知：，求证：。

通过此题，我们可知在三角函数问题的证明中，我们可以把三角函数等式看作某个三角函数式的方程，从而借助方程根的性质，找到解决的思路，实现三角函数等式或不等式的证明，此题通过转化，把三角函数等式看作为的方程，从而根据方程的性质，找到解题思路，实现问题的解决。

3.构造一元二次方程求三角函数值域

例3[3]求函数的值域。

小结：通过解此题，我们要学会观察式子，把尽可能学过的知识与此题联系起来，从而达到解决问题，此题中，我们尽可能的知道求值域的方法，再根据题目意思来确定其中的一种，此题中与我们可以通过万能公式把它化为只含一个未知数的方程，然后再根据求值域的方法求出即可。

通过以上3个例题，可知方程思想在三角函数解题中，有着十分广泛的应用，在三角函数学习中，我们要善于根据问题的特征，合理地展开联想，巧妙地实施转化，增强运用方程思想解题的意识，使解题的水平得到大幅度的提高。虽然方程思想是解三角函数问题中的方法，但它不是唯一的方法.

函数思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解決问题。在三角函数问题中，函数思想充当中介作用，通过构造函数，根据函数的性质研究、解决问题。函数思想最大特点就是从变化、动态的观点来认识数学对象和它们的性质之间的关系。这能够让学生更全面、深入地认识事物的本质。

1.构造函数求三角函数最值

例[4] 4已知，求x-y的最大值。

小结：此题构造函数，再构造已知与结论的相结合，根据题目意思求出最值即可，此题还需要掌握均值不等式的用法。

2.函数思想在三角函数不等式中的应用

例[1] 5在锐角三角形ABC中，求证：

小结：此题需掌握三角形三角之间的关系，根据正弦函数的性质（奇变偶不变）去分析问题，从而使问题得以解决。

3.运用函数思想解三角函数范围问题

例6已知方程有解，求的范围。

小结：在做此题前首先要观察式子，此题是一道关于三角函数问题，要求a的范围，我们要掌握三角函数的一些性质，再根据三角函数的性质去分析，从而使问题得以解决。

4.构造二次函数证明三角函数不等式

例[5]7 设x∈[0，]，求证：

小结：要证明，需要在引入一个变量u，令，构造出一个二次函数f（u），使得f（u）在的值始终大于或等于0即可。

通过以上4个例题，可知函数思想在三角函数解题中，有着十分广泛的应用，我们要根据问题的不同采用不同的方法。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

总结

函数与方程思想是解决数学问题的重要思想，应用广泛，贯穿于整个中学数学，在教学中，重视剖析函数与方程思想在数学解题中的正确运用，有利于培养学生解题决策的敏捷性，准确性和有效性，因而是提高解题能力的重要途径。通过以上7个例题，我们得出函数与方程思想在解决三角函数问题时，有以下几个好处：（1）把三角函数问题转化为熟知的方程问题，通过解方程组或不等式组，使原问题得以解决。（2）把三角函数问题转化为熟知的函数问题，利用函数的性质分析原问题，从而使原问题得以解决。但是函数与方程思想在解决三角函数问题时也不是万能的，不是对于每个学生都适用的，我们要因人施教，因才施教。

参考文献

[1] 汤服成、喻平.中学数学解题思想方法[M].广西师范大学出版社：1998年8月第1版

[2] 钱佩玲、邵光华.数学思想方法与中学数学[M]——北京师范大学出版社：

[3]中国核心期刊数据库来源期刊[J]——3/2009，第10页。

[4]上海中学数学[J] 186期，第14页。

[5]徐元根.函数思想在解题中的应用[J].中学数学期刊，1995，（03）

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