| 标题 | 浅谈函数的图象变换在解题中的应用 |
| 范文 | 邓贵元 【中图分类号】G62 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）21-0132-01 “旋转变换”在平面几何解题中有着重要的应用，特别是对有关三角形、四边形等一类问题的求解，这里谈的“旋转变换”指的就是平面图形绕定点的旋转，因此，在一般情况下，其图形的形状和大小均不改变。 一、以三角形为基础的图形的旋转变换 例1：已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF 放置点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4。 （1）求证：△EGB是等腰三角形； （2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形，求此梯形的高。 证明：在Rt△DEF中，∵∠EFB=90°，∠E=30°， ∴∠EDF=60°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=30° ∴EG=BG ∴△EGB是等腰三角形， 解（2）30（度）。 （事实上，∵∠BFD=30°，∠EDF=60°， ∴∠DHC=90°=∠ACB。 ∴AC∥DE. 又∵AC≠DE，∴四边形ACDE是梯形。） 设BC与ED交于H，∵∠DFB为30°旋转角， 又∵∠EDF=60°，∴∠DHF=90°，∵DF=2， ∴FH=DFsin∠EDF=2sin60°= 在Rt△ABC中，AB=4，AC=2， 又∵BF=DF=2，∴CF=2-2 ∴梯形的高=2-2+=3-2 例2：一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点恰好在30°的三角板，Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M。 （1）当DF经过点C时，作CN⊥于N，求证：AM=DN。 （2）当△EDF经D点旋转，DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由。 证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点 ∴BC=BD，∠B=60° ∴△BCD是等边三角形。 又∵CN⊥DB， ∴DN=DB ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形 ∴∠ADG=30°，而∠A=30° ∴GA=GD ∵GM⊥AB ∴AM=AD 又∵AD=DB ∴AM=DN （2）解：∵DF∥AC ∴∠HDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°， ∴∠ADG=60° ∵∠B=60°，AD=DB， ∴△ADG≌△DBH ∴AG=DH， 又∵∠HDN=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB， ∴△AMG≌△DNH ∴AM=DN。 二、以四邊形为基础的图形的旋转变换 例3：已知顺正方形ABCD内有△AEF，∠AEF=45°，E、F分别在BC，CD上任意滑动，求证： （1）△AEF的高AH为定值，D和B点重合时， 因为∠EAF=45°，F和C重合；E和C重合时，F和D重合，因此，可以猜想△AEF的高AH是正方形的边长。 证明：把△ABE绕A点按逆时针方向旋转90°， 在正方形外的△ADG、则AE=AG， ∠FAE=∠EAF=45°， 所以△AEF≌△AGF，故AH=AD（，且EF=FG=BE+FD。 例4：四边形ABCD为任意四边形，以其边四各向四边到外侧作正方形，设P、Q、R、S为四个正方形的中心， 求证：①PR⊥QS，②PR=QS 证明：以D为旋转中心，把ADF按顺时方向旋转90得 △EDC，则AF=EC，AFEC，连接AC，取AC中点 M，连接MA、MQ、MR、MP， 因为MS∥EC，MR∥AF， 所以MS=MR，MS⊥MR，同理MP=MQ，MP⊥MQ。 以M为中心，把MPR按逆时针方向旋转90°得 △MSQ，则有PR⊥QS，PR=QS。 本题稍为复杂一点，要通过两次旋转变换解得。 从以上数例可知，以三角形、四边形为基础的图形旋转变换，一般步骤是：（1）确定旋转中心，（2）确定旋转对象（即被变换的图形），（3）确定旋转的方向和角度（常用30°、60°、90°等特殊角）。 例5：在△ABC中，点D是AB边的中点，E，F分别是AC，BC上的点。 证明：△DEF的面积不超过△ADE和△BDF的面积之和。 分析：考虑如何把△ADE和△BDF拼成一块图形， 然后和△DEF的面积比较。 证明：以D为对称中心，把△ADE旋转180变换成△BDE1，则四边形BFDE1是凸四边形， 所以S△ADE + S△BDF=S△BDE+ S△BDF =S四边形BFDE ≥S△DEF= S△DEF（当E和A重合或F和B重合时，上式取等号）。 例6：已知M是Rt△ABC斜边BC的中点，P，Q分别在AB，AC上，且PMQM，求证：PQ2=PB2+QC2。 分析：能否使PB，QC，PQ构成一个Rt△的 三、边是解题的关键 考虑到PM⊥QM， MA=BC，故以M为中心，把△AMQ 旋转180得△A'MQ'. 证明：因为AA'=BC，且互相平分，所以A'Q∥AQ， A'B⊥AB，且O'在A'B上，连接PQ'， 因为PM⊥QQ，MQ=MQ，所以PQ'=PQ， 以BQ=CQ，故在RtPBQ中有：PQ2=PB2+OB2，即PQ2+PB2+QC2。 通过以上例题分析，可知旋转变换在平几解题中如能恰当而灵活地应用，会使部分难题化难为易，迎刃而解，虽然它在解析几何、复数领域内有着更广泛的应用，但在平面几何中较早地应用这种方法解题，将会有助于学生开拓思路，提高兴趣，增强能力，为今后的学习打下良好的基础。 |
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