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教师要引导学生在“犯错”中成长

范文

陈伟华

【摘要】本文是以基本不等式的教学为例，通过给学生“挖坑”的形式，引导学生“犯错”，总结犯错的原因，从而加深对易错点的理解，让学生在犯错中成长.

【关键词】犯错;引导;挖坑

我们教学中常遇到的一个问题：“学生能听懂课，但不会解题”.如何解决这个问题呢？笔者觉得可以试着给学生“挖坑”，甚至有时候可以“误导”一下学生，多让学生犯犯错，然后在纠正错误的过程中获取知识.笔者以基本不等式的教学为例，阐述这个观点.

基本不等式 a，b∈R+，a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号.

变式 a，b∈R，ab≤a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号.

使用基本不等式有个常用的口诀：“一正二定三相等”，学生对这个口诀都耳熟能详，但其实能运用得好的学生并不多.为了使学生们真正地理解这个口诀，并且能很好地运用它，笔者采用的是给学生“挖坑”的办法，使学生在犯错中加深对口诀的理解.

例1 已知x>3，求y=x+1x-3的最小值.

解 ∵x>3，∴x-3>0，

∴y=x+1x-3=（x-3）+1x-3+3

≥2（x-3）·1x-3+3=5，

∴y的最小值是5.

变式（第一个坑）已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.

设计这道题的目的是因为许多学生会忽略掉自变量的取值范围，然后照搬例1的解法，学生易犯错误：

∵y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3

≥2（4x-5）·14x-5+3=5，

∴y的最小值是5.

解法和例1很类似，但不满足“一正”，并且也不是最大值，纠正：

∵x<54，∴4x-5<0，∴5-4x>0.

∵（5-4x）+15-4x≥2（5-4x）·15-4x=2，

∴（4x-5）+14x-5≤-2，

∴y=4x-2+14x-5≤1，

∴y的最大值是1.

强调使用基本不等式，必须是在“一正”的前提之下.

例2 已知y=x2+2x2+1，求y的最小值.

解 ∵y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1

≥2x2+1·1x2+1=2，

∴y的最小值是2.

变式（第二个坑）求y=x2+5x2+4的最小值.

学生易犯错误：

∵y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4

≥2x2+4·1x2+4=2，

∴y的最小值是2.

这种解法忽略了“三相等”，因为只有当x2+4=1x2+4时，也就是x2=-3时才能取到最小值2，但这是做不到的.

正确解答 y=x2+4+1x2+4.

令x2+4=t，y=t+1t（t≥2）.

∵y′=1-1t2=t2-1t2>0，

∴函数在[2，+∞）上单调递增，

∴y≥2+12=52，∴y的最小值为52.

实际上这道题用基本不等式是解不了的，挖这个坑的目的是想告诉学生：使用基本不等式解题必须满足“一正二定三相等”三要素，缺一不可.

例3 已知a2+b2=1，求a1+b2的最大值.

解 ∵a1+b2≤a2+1+b22=1，

∴a1+b2的最大值为1.

变式（第四个坑）已知a2+b22=1，求a1+b2的最大值.

學生易犯错误：“二定”，凑不出定值.

分析 ∵a2+b22=1，∴2a2+b2=2.

又∵a1+b2≤a2+1+b22，

要凑出定值，只需在不等式左边添加2，解答如下：

∵（2a）1+b2≤（2a）2+（1+b2）22

=2a2+b2+12=32，

∴a1+b2≤322=324，

∴a1+b2的最大值为324.

小结使用基本不等式求解最值问题时，要注意：“一正二定三相等”三要素，特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号是否同时成立.

在函数的填空题中也有很多这样的例子，那么教师也不应该放过这些让学生犯错的机会，我们来看一下这个例子：

总之，在教学过程中，教师不应该剥夺学生“犯错”的机会，让学生在“犯错”之中总结经验，寻找解题规律.这样给学生留下的印象会特别深刻，而最终达到少犯错的效果.

【参考文献】

[1]沈新权.高中学生数学思维障碍的成因及突破[J].中学时代，2014（10）：30.

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