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在初中数学教学中运用“操作——猜想”尝试体验教学

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俞平

摘要：：让学生通过观察具体图形和动手实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，即“操作——猜想”，对加深学生认知与促进学生的直觉思维是相当有益处的，对培养学生的归纳思想与能力所起的作用更是妙不可言。提倡“操作——猜想”有利于培养学生的创造性思维，提高学生的自主性学习能力，让学生真正自主地、快乐地学习数学。

关键词：操作;猜想;体验;思维;归纳;验证

中图分类号：G633.6 ? 文献标识码：A ? 文章编号：1992-7711（2019）03-0041

如何培养学生的创新意识与创新能力，是摆在我们每一位教学工作者面前的重要问题。传统的数学教学往往只是填鸭式的教学，教师在课堂前的演绎、推理往往就让学生“程序输入”式地呆板接收，其效果如何呢？不言而喻，学生在自己解决问题时往往受到阻碍，解决不了困难。因为教师只是“授之以鱼”而并未“授之以漁”。笔者在自己的教学实践中发现：数学教学中，可借助于通过“操作——猜想”来培养学生自己解决问题的能力，提倡“操作——猜想”有利于培养学生的创造性思维，提高学生的自主性学习能力，心理学家皮亚杰认为“思维是从动作开始的，切断了动作思维之间的联系，思维就得不到发展”。依据初中学生现有的重建新知识体系的能力而言，他们是很难将重要的数学思想方法内化为自己的知识体系的，因此需要将猜想与动手操作有机结合起来。依据“操作——猜想”与体验教学的相通性，我们不得不承认“操作——猜想”是数学教学中实施体验教学的好方法。

一、“操作——猜想”促进直觉思维

《数学课程标准》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”;课程改革的核心理念是“以学生发展为本”，强调探索性教学。探索性教学首先要让学生切身地有所体验。所谓体验就是指在教学中，让学生通过切身实践来掌握所要传授的知识或技能，或是通过唤起学生以往的记忆表象来实施教学的方法。一切知识缘于实践。体验的过程就是实践的过程，利用体验的过程可以培养学生的实践能力。体验可以形成丰富的记忆表象，体验教学的最终目的就是利用体验所积累的现实经验与丰富的表象储备来发展学生的实践能力与创造性思维。然后，以体验积累起来的感性认识为基础展开猜想。猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程，而猜想是对抽象化的、形式化的数学进行思辨过程。

初中数学中的许多概念、性质、判定等知识，对于正处于由感性认识到理性认识转化的初中生而言是比较抽象的。让它们通过观察具体图形或实物模型和动手实验，根据自己的观察实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，对加深学生认知与促进学生的直觉思维是相当有益处的。

例如，教师在讲授“等腰三角形的两个底角相等”时，教师可先让学生拿出已准备好的等腰三角形纸片，引导学生进行观察并对两个底角的关系进行猜想。学生通过自己的感官反应马上得出“等腰三角形的两个底角相等”，在教师的肯定与赞扬声中，学生跃跃欲试，开始动手操作：有的拿出了量角器来进行测量，有的通过对折来看这两个角能否重合……很快他们就找到了验证自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了这一性质。又如新授“三角形中位线”定理时，学生在了解了“连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线”之后，通过“画一画”“量一量”“看一看”的操作来猜想三角形中位线的性质，通过学生自己的观察与测量得到了“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，并饶有兴趣地进一步推理论证该定理。在讲授新知识的同时，让学生体验着知识本身的魅力与内心的喜怒哀乐，同时又培养了他们的直觉思维能力。

二、“操作——猜想”促进数学归纳

与整个数学体系所包罗的知识相比，初中数学所包含的知识只是这汪洋大海中小小的浪花。借助于这些知识载体，让学生真正领悟其数学思想方法、培养学生的数学能力才是我们真正要做的。而“归纳”是数学思想和数学能力中很重要的一块，“操作——猜想”这一形式对培养学生的归纳思想与能力所起的作用更是妙不可言。

例如，观察下列图形，并阅读理解图形下的有关文字：

那么n条直线相交，最多有_______个交点。

刚看到题目的时候，学生有些丈二和尚摸不着头脑，于是教师可启发学生：碰到这样的难题，不妨可采用数学家华罗庚“先退后进”的思想，通过特例来研究考察事物的本质，从而归纳问题的规律和性质。于是引导学生动手画一画，用心数一数，学生在画的过程中发现：当画第二条直线时，我们发现已有直线一条，因此最多可有一个交点;当画第三条直线时，最多可与原有的两条直线相交并有两个交点，因此一共有三个交点;……渐渐地发现，直线的条数与交点的个数是两组很有规律的数据：

2 ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? ?6 …… ? ? ? ? ? ? ? ? n

1 ? 1+2 ?1+2+3 ?1+2+3+4 ? ?1+2+3+4+5…… ? ?1+2+3+……n-1

于是根据高斯定理，就可得：n条直线相交，最多可有n（n-1）/2个交点。在整个解决问题的过程中，学生从没有头绪到豁然开朗，正是操作起到了决定性的作用。

九年级应用题这一章节中，有一类“送礼物”“打电话”问题的应用题。学生学习的过程中，很难把握其规律。教师在新课引入时，可创设游戏情境：圣诞节即将来临，希望每一位同学为其他同学准备一份礼物，请大家回去准备一下吧！一下子学生七嘴八舌地讨论开了……这是学生生活中经常碰到的问题，他们对此很感兴趣。于是教师又抽取了四位学生进行演示：四位同学要完成送礼物任务，大家看“每一位同学要准备几份礼物，最后所有的同学将共送出几份礼物？”很快地，学生发现：每位同学要准备的礼物数比人数少1，因此如果有n个学生的话，礼物的总数可归纳为n（n-1 ）。通过学生親身演示与体验，把一个比较抽象的问题具体化、可操作化，这样便于学生理解掌握。

归纳思想是初中阶段重要的思想方法之一，通过“操作——猜想”，让学生在动手过程中迸出智慧的火花，建立起猜想，从而激发进一步归纳的欲望，让自己从特殊到一般，逐步归纳出更完美的结论。

三、“操作——猜想”促成类比思维

看到“铁锹铲地”产生联想类比，从而改进了建筑工地上的抓斗机。通过“操作——猜想”进行类比，根据两个事物之间类似或是相同的特点，猜想出它的类似或相同的规律或性质。

教师新授等腰梯形的性质“同一底上两个底角相等”时，完全可以启发学生回忆学习等腰三角形性质时的方法：先让学生观察等腰梯形的两个底角，后联想学习等腰三角形的情形，用量角器测量、对折重合等方法，从而通过“类比——猜想”来得到等腰梯形“两个底角相等”的性质。

教学中让学生在“手脑并用”中体会“观察——联想——类比——猜想”的思想方法，无疑是一种行之有效的方法。

四、“操作——猜想”启发验证方法

很多时候，猜想是“跟着感觉走”的，不一定符合事实，故猜想的结果也就不一定可靠，因此不论你的猜想多么美妙，都需经过严格的验证，才能肯定自己的猜想是否正确。

例如九年级复习课上，教师向学生出示了这样一道习题：设 A、 B、 C、D 是四个居民小区，现要在四边形ABCD 内部建一个购物中心，试问应把购物中心建在

何处，能使四个居民小区到购物中心的距离总和最小？

因为四边形ABCD内有无数的点，学生很难找到确切的解决途径。学生没有通过动手操作，是很难想到从特殊的点出发，再进行猜想，然后再加以论证的。而当学生拿出笔和尺来，随意地在四边形内画一画时，还是能够找到“对角线的交点P”这一比较特殊的点的。随后，教师继续提问：为什么这一交点肯定是到 A、B、C、D这四点距离之和最小的呢？然后进一步让学生通过动手画图，在圈圈点点中学生发现：在四边形ABCD内部的点可以分为两类。一类是在线段AC与BD上的;一类是在四个小三角形内的。逐渐的，在一次又一次的画图中，进一步证实了只有P点才是符合要求的点。同时在测量中也已经发现可以利用“三角形两边之和大于第三边”来进行严密地论证。

伟大的科学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。”正是有了勇敢而伟大的猜想，我们的生产水平、生活水平有了突飞猛进的提高。而我们的猜想也不是直观而苍白无力的主观判断，而是经过了观察、动手操作、测量，运用了测量归纳、类比验证等数学思想方法，我们的猜想是可靠而有价值的。在教学过程中，注重创设操作猜想情境，让初中数学课堂教学以动手操作为基础，以体验乐趣为动力，以猜想为翅膀，飞向更广阔的蓝天。鼓励学生参与学习、体验学习，从而获得成功之后的满足与愉悦，让学生真正自主地、快乐地学习数学。

参考文献：

[1] 林志成.初中数学教学问题的设计[J].中学教研（数学），2005（5）.

[2] 刘兼，孙晓天.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

（作者单位：浙江省诸暨市滨江初级中学 311800）

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