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大学数学专业课基本概念的教学方法探究

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郝晓燕

[摘? ? ? ? ? ?要]? 大学数学专业课的概念较为抽象，直观上难以理解。而概念是理解一切的基础，所以概念的教学关乎学生学习和理解一门课的程度。以数列的极限、连续与概率密度的概念的教学为例，由于数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映，数学根本上是来自自然界，从数学原始概念所描述的生活现象出发，利用“数学是用数字诠释生活”这一思想，引导学生自己用数学语言描述这一生活现象，亲自感受定义的得出过程。提供了一种数学概念教学的行之有效的方法，使一些抽象概念不仅变得易学易理解，还能掌握其实质。

[关? ? 键? ?词]? 极限;概率密度;教学;概念

[中图分类号]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文献标志码]? A? ? ? ? ? ? ? [文章编号]? 2096-0603（2020）28-0168-02

大学数学专业的课程贯穿高度抽象的方法、高度严密的推理、高度系统的结构，致力于培养学生科学严谨的思考习惯与认真细致的工作作风。具有极强的理论性、系统性和逻辑性，并且知识点多、抽象概念多、逻辑性强。不少学生在学习和掌握本课程知识点时存在一定的困难。

数学概念是数学知识体系中重要的一环，在教学的过程中不能忽视对数学概念的探究教学，只有让学生对数学概念有了一个完整、正确、清晰的认识，他们才能够在学习其他的数学知识时更加轻松。我们在进行概念教学时，要精心设计，大胆尝试，和学生一起参与到概念的形成过程中，达到对概念本质的理解。

究其原因，主要是学生不能理解有关知识点的本质，这对我们如何进行教学提出了新的挑战。如果直接给出定义进行教学，这属于“填鸭式”“灌输式”教学，教学效果可想而知。

我们知道数学来源于生活，服务于生活，如果我们能挖掘出每个知识点的生活本质描述生活现象。在教学中还原其生活本质，让学生亲历定义得出过程，试着用数学语言表述出来，学生对定义的理解一定会很深刻。以下以“极限”概念以及概率密度的概念的教学为例探讨这一教学方法。

一、极限概念的教学

数学分析是用极限为工具研究连续函数的一门数学分支学科。极限是数学分析研究连续函数的工具。所以理解极限概念对学生学好数学分析这门课起着至关重要的作用。

（一）极限这一概念描述的生活现象

极限描述的是有着确定变化趋势的现象。

（二）极限的定义

1.极限的描述性定义

对于数列an，如果随着n的无限增大，数列an会无限接近某一个确定的常数，则称该数列存在极限，并且以该常数为其极限。

2.极限的“ε-N”定义[1]

对于数列an，常数a，如果对？坌ε>0，？埚N>0使得对n>N，都有an-a<ε。则称数列an的极限为a。

（三）极限定义的教学

首先，给学生指明极限就是变化趋势。数列的极限描述的是随着n的增大数列的变化趋势，也就是观察该数列随着n的无限增大，是否会“无限接近”某一个常数。

其次，给学生解释“无限接近”也就是“要多接近就有多接近”，最后引导学生怎么在数学上刻画它。两个数的接近程度即两个数的距离，在数学上用绝对值来表示，而要多接近就有多接近的“多”也就是“任意”的意思，所以在数学表示即为“？坌ε>0，an-a<ε”就有多接近，指的就是随着n的增大，就能有多接近，也就是从某一项开始的所有项都能满足即可，即“？埚N，？坌n>N”这就是极限的“ε-N”定义。

如果这样给学生讲，学生不仅能很好地理解该定义，知道各个符号的真正含义，并且对“ε的任意性和确定性，N的存在性，可以限制ε的范围”等注意点也一目了然。

二、连续函数的定义

数学分析是用极限为工具研究连续函数的一门数学分支学科。连续函数是数学分析研究的对象。所以对连续函数概念的理解，对学生学好数学分析这门课起着至关重要的作用，连续函数有函数在一点处连续，在某区间连续，在某区间连续的函数是利用函数在一点处连续的定义而定义的。

（一）连续这一概念描述的生活现象

先提问：“一提到连续，你想到了什么情形呢？”答曰：“连绵不断。”紧接着给学生说明连续描述的是连绵不断的现象。

（二）函数在一点连续的定义[2]

设函数f（x）在点a的某个邻域内有定义，

（2）函数f（x）在点a处有定义，

则称函数f（x）在点a处连续。

（三）连续定义的教学

首先，给学生指明连续就是连绵不断，好比一条绳子，随之板书出来。

其次，让学生思考：断开的两条绳子怎么能连接起来呢？很容易引导学生得出：断开的两条绳子凑到同一个点。再继续引导可以了吗？还必须得滴一滴胶水把两者黏住即可。这样这两条绳子就连接起来了。

最后，引导学生怎么在数学上刻画它。断开的两条绳子凑到同一个点，也就是这两条绳子在从两侧向同一个点走，在数学上也就是在该点处左右极限不仅存在，而且相等。还必须得滴一滴胶水把两者黏住，在数学上也就是在这点处函数值不仅存在，而且极限值等于函数值，即函数在一点处连续的定义。

如果这样给学生讲，学生不仅能很好地理解该定义，知道各个符号的真正含义，在知识掌握方面，对连续函数图像的认识也有一个直观深刻的理解，为以后进一步学习函数在一个区间上连续和数学分析后续知识的学习打下坚实的基础。

三、概率密度的教学

概率密度是概率论的一个重点，对学生了解随机变量的分布起着非常重要的作用。

（一）概率密度这一概念描述的生活现象

在某一区间上概率的分布情况。

（二）概率密度的定义

设随机变量X，x∈R，

则称该极限为随机变量在点处的概率密度[2]。

（三）概率密度定义的教学

首先，给学生指明密度即“稠密程度”。

其次，和学生回忆一下学过的密度以及总结怎么去量化密度。

我们知道人口密度、物理上的密度。

我们是怎么去计算的呢？

我们知道密度是等于值除以其对应的几何度量。

如果这样给学生讲，学生不仅能很好地理解该定义，知道各个符号的真正含义，而且还能够还原其生活实质，概率密度为0代表什么，值的大小代表什么学生就能很好地理解。

參考文献：

[1]刘玉琏.数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沈恒范.概率论与数理统计（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

编辑张俐

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