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标题 直纹曲面直母线的若干探究
范文

    王楠

    

    

    [摘? ? ? ? ? ?要]? 主要探究单叶双曲面方程的两种不同变换对直母线的影响,并通过实例加以验证。另外对不同类型的曲面,给出直母线的族数与参数个数的确定方法。

    [关? ? 键? ?词]? 单叶双曲面;直纹曲面;直母线

    [中图分类号]? O186.11? ? ? ? ? ? ? ? ?[文献标志码]? A? ? ? ? ? ? [文章编号]? 2096-0603(2020)10-0190-02

    单叶双曲面是直纹曲面,通过代数的方法将其方程改写成直线的一般方程,得到了u族、v族直母线。但其方程的改写方式有两种,会不会对直母线有影响?解析几何课本上都没有给出说明,针对这个问题,本文首先给出了方程的两种改写方式,然后通过实例验证,总结出了两种不同变换方法对直母线的影响。另外,直纹曲面的直母线个数及参数个数该如何确定,本文总结出了三种类型。希望本文的内容对学习者来说,能够解决困惑,有一定的参考价值。

    一、单叶双曲面方程两种不同变换形式

    推论1 对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这点。

    推论2 对于单叶双曲面上的点,两种不同变换方法,不改变直母线个数,但u,v族直母线互换。

    二、实证分析

    例:通过两种不同变换方法,求过单叶双曲面=1上的点P(10,3,4)的直母线方程,并指出其特征。

    把点P(10,3,4)分别代入上面方程,求得w∶u=1∶2与t=0

    代入直母线方程,化简,得过P(10,3,4)的两条直母线分别为:

    u族直母线方程为l1:6x-20y+15z-60=06x+5y-15z-15=0

    其方向向量为:={6,-20,15}×{6,5,-15}={225,180,150}=15{15,12,10}

    v族直母线方程为l2:2x-5z=0y-3=0

    其直线的方向向量为:2,0,-5}×{0,1,0}={5,0,2}

    变换方法

    把点P(10,3,4)分别代入上面方程,求得w∶u=1∶1与v∶t=-3∶1

    代入直母线方程,化简,得过P(10,3,4)的两条直母线分别为:

    u族直母线方程为l3:6x-10y+15z+30=06x+10y-15z-30=0

    其直线的方向向量为:3={6,-10,15}×{6,10,-15}=60{5,0,2}

    v族直母线方程为l4:18x-10y-15z-90=02x+10y-15z+10=0

    其直线的方向向量为:{18,-10,-15}×{2,10,-15}=20{15,12,10}

    可以发现,又因为直母线过同一点P,故l与l4表示同一条直线,l2与l3表示同一条直线。从而可得出:(1)过曲面上点P的直母线只有两族,与变换方法无关;(2)两种不同变换方法,u,v族直母线互换。

    三、二次曲面是直纹曲面的必要条件

    其方程能转化为:f1(x,y,z)·f2(x,y,z)=g1(x,y,z)·g2(x,y,z),其中f1,f2,g1,g2均是关于x,y,z的一次多项式或常数。

    四、直母线族数与参数个数的确定

    (i)两族直母线,两个参数

    (ii)两族直母线,一个参数

    参考文献:

    [1]吕林根,许子道.解析几何[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:175-182.

    [2]李养成.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2010.

    [3]黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海:复旦大学出版社,2003:34-35.

    ◎編辑 陈鲜艳

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更新时间:2025/3/17 6:46:40