| 标题 | 谈函数单调性证明方法的规范性及其教学 |
| 范文 | 蒋培杰 马恩荣 [摘? ?要]函数单调性证明的学习对发展学生“逻辑推理”核心素养非常重要. 从一线教师提出的关于学生试卷中函数单调性证明的评分困惑出发，分析学生解答的关键问题所在，在介绍证明范式及其特点的基础上提出教师应教会学生演绎推理的基本范式，并与所在教研团体共同制定可以作为高一学生演绎推理前提的不等式及其性质的一致标准. [关键词]函数;单调性;规范性;逻辑推理 [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）08-0014-02 一、问题的提出 数学教育研究工作者走进课堂，研究教学中的实际问题已经成为一种趋势，有利于数学教育研究的健康发展和数学教育质量的提高. 以下问题就是来自一名中学教师评卷时产生的疑惑. 相应试题为：“证明函数[f（x）=1-3x+2]在区间[3，5]上单调递增.” 在评卷时，该教师对如下学生的解答（图1）无法判定是否能给满分. 疑惑点在于由[x2+2>x1+2]得到[3x1+2>3x2+2]的合理性上. 这是一个常见的困惑，也让学生感到很不自然：为什么显然的事情还要详细说明？而这正是培养学生“逻辑推理”核心素养的重要机会. 对这个困惑的解答要回到数学证明的含义上，深刻理解证明的含义对中学一线数学教师发展学生的“逻辑推理”核心素养至关重要. 二、关于数学证明方法以及困惑的解答 《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题，其中一类是合情推理，一类是演绎推理[1] .我们所说的证明指的是演绎推理，是从一般到特殊的推理. 数学证明的标准是一个综合评判的动态体系[2]. 换言之，由于大前提不同，同样一个解答对高一新生而言不构成证明，而换成高二学生就是一个证明. 比如图1所示解答，对高一学生的标准而言这能否构成一个证明要看演绎前提，即命题“[a>b>0?1a<1b]”是否可以作为前提. 对于高一新生而言，能够作为前提的自然是初中数学教材中的不等式及性质. 以新人教版初中数学教材为例，不等式的性质有三条： 这与实数大小比较的基本性质“（4）[a>b?a-b>0]”就构成了一个可以作为高一学生演绎推理的前提的标准. 标准中并没有直接包括命题“[a>b>0?1a<1b]”，该命题也并不是显然由上述四个性质可得，需要作差变形后才能得到该判断. 因此图1的解答可以认定为不严谨，但问题并不全在于學生. 多数情况下，高一数学教师在教学中并未明确指出必须以上述四个性质（或其他形式的标准）作为函数单调性证明差的符号判定的依据. 关于评分的困惑倒是反映出不少一线教师在培养学生“逻辑推理”核心素养上有所欠缺. 三、函数单调性证明的规范性与教学 函数单调性的证明是学生进入高中初次接触的证明问题，是发展学生“逻辑推理”核心素养的重要课题. 函数单调性的证明有程式化的操作步骤，不妨以“函数[f（x）=x2]在区间[0，+∞]上单调递增”为例进行证明. 规范的证明如下： 证明一般分为三步：第①步作差，第②步变形，第③步判断差的符号. 学生常出现的错误就是跳过上述第②步直接由第①步判定差的符号，但是上述判定符号的前提（上述四个不等式性质）并不直接包括命题“[0 根据著名数学教育家波利亚的观点，“学会猜想”和“学会证明”是中学数学学习的两个重要目标[3]. 而函数单调性证明的学习是学会证明的绝好机会之一. 教师应该深入挖掘学生证明不严谨的原因，找出问题本质.相应问题的解决往往就是培养学生证明能力、逻辑推理核心素养的关键所在. 日常教学中，教师应该多学习、多思考，有更高的观点，才能发现细致的问题，才能洞悉问题的本质，进而更好地提高教学效率. [? 参? ?考? ?文? ?献? ] [1]? 中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社， 2017. [2]? 田枫，黄秦安.数学证明严格性之相对意义与综合评判标准[J].自然辩证法通讯，2016（1）：51-55. [3]? Polya G. How to solve it： a new aspect of mathematical method[M].Princeton：Princeton University Press，1945. （特约编辑 安? ?平） |
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