邓军民

    全卷满分150分. 考试用时120分钟.

    第Ⅰ卷

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合A={x|y=■}，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（? ?）

    A. （-∞， -3]? ? ?B. （-∞， -3）? ? ?C. （-∞， 0]? ? D. [3， +∞）

    2. 已知变量x和y的统计数据如下表：

    根据上表可得回归直线方程y=0.7x+a，据此可以预报当x=6时，y=（? ?）

    A. 8.9? ? ? ? B. 8.6

    C. 8.2? ? ? ? D. 8.1

    3. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x的值为（? ?）

    A. ■? ? B. ■? ? C. ■? ? D. ■

    4. 已知三角形ABC中，AB=AC=2■，■=3■，连接CD并取线段CD的中点F，则 ■·■=（? ?）

    A. -5? ? ? ?B. -■? ? ? ?C. -■? ? ? ?D. -2

    5. 已知偶函数f（x）在[0， +∞）单调递减，若f（-2）=0，则满足x f（x-1）>0的x的取值范围是（? ?）

    A. （-∞， -1）∪（0， 3）? ? ? ?B. （-1， 0）∪（3， +∞）

    C. （-∞， -1）∪（1， 3）? ? ? ?D. （-1， 0）∪（1， 3）

    6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（? ?）

    A. ■? ? ? ? B. ■

    C. ■? ? ? ? D. 8

    7. 已知函数f（x）=sin（2x+？渍） （0≤？渍≤2？仔）的图像向右平移■个单位长度后，得到函数g（x）=cos2x 的图像，则下列是函数y=f（x） 的图像的对称轴方程的为（? ?）

    A. x=■? ? ? ?B. x=■? ? ? ?C. x=■? ? ? ?D. x=0

    8. 阿波羅尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹是圆. 后人将这个圆称为阿氏圆. 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为■，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（? ?）

    A. 2■? ? ? ?B. ■? ? ? ?C. ■? ? ? ?D. ■

    9. 在△ABC中，内角A， B， C的对边分别为a， b， c，若函数f（x）=■x3+bx2+（a2+c2-ac）x+1无极值点，则角B 的最大值是（? ?）

    A. ■? ? ? ? ?B. ■? ? ? ? ?C. ■? ? ? ? ?D. ■

    10. 已知点A（4， 0），B（0， 4），点P（x， y）的坐标x，y满足x≥0，y≥0，3x+4y-12≤0，则 ■·■ 的最小值为（? ?）

    A. ■? ? ? ? ?B. 0? ? ? ? ?C. -■? ? ? ? ?D. -8

    11. 设F1，F2 是双曲线C：■-■=1（a>0， b>0） 的两个焦点，P是C上一点，若 |PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2 的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（? ?）

    A. x±■y=0? ? B. ■x±y=0? ? C. x±2y=0? ? D. 2x±y=0

    12. 已知函数f（x）=ex+x2+（3a+2）x 在区间（-1， 0）有最小值，则实数a的取值范围是（? ?）

    A. （-1， -■）? ? B. （-1， -■）? ? C. （-■， -1）? ? D. （-1， -■）

    第Ⅱ卷

    本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答.

    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

    13. 若■ （a， b∈R）与（2-i）2互为共轭复数，则a-b=__________.

    14. 在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA=PB=2，PA⊥AC，则该三棱椎外接球的表面积为__________.

    15. 已知数列{an}的前n项和是Sn，且an+Sn=3n-1，则数列{an}的通项公式an=__________.

    16. 函数y=■与y=3sin■+1的图像有n个交点，其坐标依次为（x1， y1）， （x2， y2）， …， （xn， yn），则■（xi+yi）=______.

    三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.

    17.（本小题满分12分）

    如图，△ABC中为钝角，过点A作AD⊥AC，交BC于D，已知AB=2■，AD=2.

    （1）若B=30°，求∠BAD的大小;

    （2）若BC=3BD，求BD的长.

    18.（本小题满分12分）

    某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下统计表：

    （1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y=■x+■.

    （2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为C=400t-20， 0

    参考公式：■=■=■，■=■-■■.

    参考数据：■xiyi=1343，■xi2=558，■yi2=3237.

    19.（本小題满分12分）

    如图1，已知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且BE=■，AB=2■，BC=4■，现将△ABD沿BD折起，如图2，点A的位置记为A′，此时A′E=■.

    （1）求证：BD⊥面A′HE;

    （2）求三棱锥D-A′EH的体积.

    20.（本小题满分12分）

    已知椭圆C1的方程为■+■=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为■.

    （1）求椭圆C2的方程;

    （2）如图，M，N分别为直线l与椭圆C1、C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx （k>0），求k的值.

    21.（本小题满分12分）

    已知函数f（x）=ax-1-ln x （a>0），

    （1）求函数f（x）的单调区间;

    （2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对任意x∈（0， +∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的最大值.

    请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

    22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=t，y=m+t（t为参数，m∈R），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=■ （0≤？兹≤？仔）.

    （1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

    （2）已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为 2■，求m的值.

    23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    已知函数f（x）=■| x-a |（a∈R）.

    （1）当a=2时，解不等式 | x-■ |+f（x）≥1;

    （2）设不等式 | x-■ |+f（x）≤x的解集为M，若[■， ■]？哿M，求实数a的取值范围.

    2019年全国高考文科数学模拟试题参考答案

    第Ⅰ卷

    一、选择题.

    1.【答案】A

    【解析】由已知得A=[-3， 3]，由A∩B=A，则A？哿B，又B=[a， +∞），所以a≤-3. 故选A.

    2.【答案】D

    【解析】■=■=3，■=■=6，

    ∴ 6=0.7×3+a， a=3.9， ∴ x=6时， y=0.7×6+3.9=8.1， 故选D.

    3.【答案】C

    【解析】i=1，

    （1）x=2x-1，i=2，

    （2）x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，

    （3）x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4，

    （4）x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5，

    所以输出16x-15，得x=■，故选C.

    4.【答案】B

    【解析】方法一：如图，因为■=3■，线段CD的中点为F，■=■■-■， ■=■■+■■=■■+■（■-■■） =■■+■■ =■（■■+■）， ■·■ =■（■■-■）=■（■×8-8）=-■，故选B.

    方法二：（特殊图形法）取△ABC为等腰直角△ABC，如图，则有B（2■， 0）， C（0， 2■），因为■=3■，所以D为AB的四分点，所以D（■， 0）. 又因CD的中点为F，所以F（■， ■），所以■=（■， ■）， ■=（■， -2■），所以■·■=■-4=-■. 故选B.

    5.【答案】A

    【解析】∵偶函数f（x）在[0， +∞）单调递减，且f（-2）=0，

    ∴函数f（x）在（-∞， 0）单调递增，且f（2）=0.

    结合图像可得不等式x f（x-1）>0等价于x>0，f（x-1）>0或

    x<0，f（x-1）<0，

    即x>0，-1

    故x的取值范围为（-∞， -1）∪（0， 3）. 选A.

    6.【答案】B

    【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：

    ∴该几何体的体积V=■×8×2 =■，故选B.

    7.【答案】A

    【解析】函数g（x）=cos2x 的图像的对称轴方程为x=■ （k∈Z），

    故函数y=f（x）的图像的对称轴方程为x=■-■（k∈Z），当k=1时，x=■，故选A.

    8.【答案】A

    【解析】如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系;则：A（-1， 0），B（1， 0），设P（x， y），∵ ■=■，∴ ■=■，

    两边平方并整理得：

    x2+y2-6x+1=0 ？圯（x-3）2+y2=8. ∴当点P在点C或点D时，△PAB面积的最大值是■×2×2■=2■，故选A.

    9.【答案】C

    【解析】函数f（x）=■x3+bx2+（a2+c2-ac）x+1无极值点，则导函数无变号零点，f′（x）=x2+2bx+a2+c2-ac，？驻=b2-a2-c2+ac≤0？圯cosB=■≥■.

    ∵ B∈（0， ？仔），∴ B∈（0， ■] 故最大值为■. 故答案为：C.

    10.【答案】C

    【解析】由题意可得： ■·■=x（x-4）+y（y-4）=（x-2）2+（y-2）2-8，（x-2）2+（y-2）2 即为点P（x， y）与点M（2， 2）的距离的平方，结合图形知，最小值即为点M（2， 2）到直线的距离的平方d=■=■，故最小值为（■）2-8=-■. 本题选择C选项.

    11.【答案】B

    【解析】假设点P在双曲线的右支上，由题得

    |PF1|+|PF2|=6a，|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵ |F1F2|=2c>2a，所以最短边是PF2，最小角为∠PF1F2 . 由余弦定理得4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×cos30°，∴ c2-2■ac+3a2=0. ∴ e2-2■e+3=0，e=■，∴ ■=■，∴ c2=3a2，∴ a2+b2=3a2，∴ b2=2a2. ∴ ■=■，所以双曲线的渐近线方程为■x±y=0. 故选B.

    12.【答案】D

    【解析】由f（x）= ex+x2+（3a+2）x，可得f′（x）=ex+2x+3a+2，∵ 函数f（x）=ex+x2+（3a+2）x在区间（-1， 0）上有最小值，∴ 函数f（x） =ex+x2+（3a+2）x 在区间（-1， 0）上有极小值，而f′（x）=ex+2x+3a+2=0在区间（-1， 0）上单调递增，∴ f′（x）=ex+2x+3a+2=0在区间（-1， 0）上必有唯一解，由零点存在定理可得

    f′（-1）=e-1-2+3a+2<0，f′（0）=1+3a+2>0，解得-1

    ∴ 实数a 的取值范围是（-1， -■），故选D.

    第Ⅱ卷

    二、填空题.

    13.【答案】-7

    【解析】∵ ■=■=b-ai， （2-i）2=4-4i-1=3-4i，又■（a， b∈R）与（2-i）2 互为共轭复数， ∴ b=3， a=4，则a-b=-7，故答案为-7.

    14.【答案】12？仔

    【解析】由于PA=PB，CA=CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此PC取中点O，则有OP=OC=OA=OB，即O为三棱锥P-ABC外接球球心，又由PA=PB=2，得AC=AB=2■，所以PC=■=2■，所以S=4？仔×（■）2=12？仔.

    15.【答案】3-（■）n-2

    【解析】由題得an+Sn=3n-1…①，an-1+Sn-1=3n-4…②，

    两式相减得an=■an-1+■，∴ an-3=■（an-1-3），∴ {an-3} 是一个等比数列，

    所以an-3=（a1-3）（■）n-1 =（1-3）（■）n-1，∴ an=3-（■）n-2，故填3-（■）n-2.

    16.【答案】4

    【解析】因为y=■=x+■+1，y=3sin■+1两个函数对称中心均为（0， 1）;画出y=■=x+■+1，y=3sin■+1的图像，由图可知共有四个交点，且关于（0， 1）对称，x1+x4=x2+x3=0，y1+y4=y2+y3=0，

    故■（xi+yi）=4，故答案为4.

    三、解答题.

    17.（本小题满分12分）

    【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得■=■，■=■，解得sin∠ADB=■， ……3分

    又∠ADB为钝角，则∠ADB=120°，故∠BAD=30°.…………5分

    （2）设BD=x，则DC=2x.

    ∵ AD⊥AC，∴ cos∠ADC=■=■，∴ cos∠ADB=-■.…………8分

    在△ABD中由余弦定理得，cos∠ADB=■=■，…………10分

    ∴ ■=-■，解得x=2，故BD=2. ……………12分

    18.（本小题满分12分）

    【解析】（1）由所给数据可得：■=■=10.4，

    ■=■=25，…………2分

    ■=■=■=2.5，■=■-■■=25-2.5×10.4=-1，……5分

    则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1. …………6分

    （2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5，即预计需要原材料36.5袋，

    因为C=400t-20， 0

    当t=35时，利润L=700×35-（400×35-20）=10520;

    当t=36时，利润L=700×36-380×36=11520，

    当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490.

    综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. ………12分

    19.（本小题满分12分）

    【解析】（1）证明： ∵ ABCD为矩形， BE=■， AB=2■， BC=4■，

    ∴ AE⊥BD，因此，图2中，BD⊥A′H，BD⊥EH. 又∵ A′H交于HE点H，

    ∴ BD⊥面A′HE. …………6分

    （2）∵矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且BE=■，AB=2■，BC=4■.

    ∴ AE=■=5，BD=■=10，△BEH∽△DAH，

    ∴ ■=■=■=■，∴ AH=A′H=4，EH=1，DH=8，

    ∵ A′E=■，∴ A′H⊥EH，∴ S△A′HE =■×4×1=2.

    ∴三棱锥D-A′EH的体积VD-A′EH =■. …………12分

    20.（本小题满分12分）

    【解析】（1）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4，∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4.

    设椭圆C2的方程为■+■=1（a>b>0），则有

    2b=4，■=■=■，…………2分

    ∴ a=4，b=2，∴椭圆C2的方程为■+■=1. ………5分

    （2）设M（x1 ， y1）， N（x2 ， y2），由△PON面积为△POM面积的2倍得 |ON|=2|OM|，

    ∴ |x2|=2|x1|. 联立方程y=kx，■+■=1，消y得x=±■，…………8分

    ∴ |x1|=■. 同样可求得|x2|=■. …………10分

    ∴ ■=2■，解得k=±3，∵ k>0，∴ k=3.…12分

    21.（本小题满分12分）

    【解析】（1） f（x）的定义域为（0， +∞）， f′（x）=a-■=■，

    当a>0时， 由f′（x）<0， 得 00， 得x>■，

    ∴ f（x）在（0， ■）上递减，在（■， +∞）上递增. …………4分

    （2）∵函数 f（x） 在x=1处取得极值，

    ∴ f′（1）=a-1=0， 则a=1，从而 f（x） = x-1-ln x， x∈（0， +∞）. …………5分

    因此，对任意x∈（0， +∞），f（x）≥bx-2恒成立

    ？圳对任意x∈（0， +∞），1+■-■≥b恒成立，………7分

    令g（x）=1+■-■，则g′（x）=■，·…………9分

    令g′（x）=0，得x=e2，则g（x）在（0， e2）上递减，在（e2， +∞）上递增，

    ∴ g（x）min=g（e2）=1-■，即b≤1-■，故实数b的最大值是1-■. …………12分

    请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

    22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

    【答案】（1）x-y+m=0， ■+y2=1 （0≤y≤1）? （2）m=-4-■或 m=6.

    【解析】（1）由曲线C1的参数方程，消去参数t，

    可得C1的普通方程为：x-y+m=0.

    由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos 2 ？兹=3，？兹∈[0， ？仔]，

    ∴曲线C2的直角坐标方程为■+y2=1 （0≤y≤1）. ……5分

    （2）设曲线C2上任意一点P为（■cos？琢， sin？琢），？琢∈[0， ？仔]， 则点P到曲线C1的距离为d=■=

    ■.

    ∵ ？琢∈[0， ？仔]， ∴ cos（？琢+■）∈[-1， ■]， 2cos（？琢+■）∈[-2， ■]，

    当m+■<0时，m+■=-4，即m=-4-■;

    当m-2>0时，m-2=4，即m=6. ∴ m=-4-■或m=6. …10分

    23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    【答案】（1）{x|x≤0或x≥1};（2）[-■， ■].

    【解析】（1）当a=2时，原不等式可化为 |3x-1|+|x-2|≥3.

    ①当x≤■时，原不等式可化为-3x+1+2-x≥3，解得x≤0，所以x≤0;

    ②当■

    ③当x≥2时，原不等式可化为3x-1-2+x≥3，解得x≥■，所以x≥2.

    综上所述，当a=2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.…………5分

    （2）不等式 |x-■|+f（x）≤x可化為 |3x-1|+|x-a|≤3x，

    依题意不等式 |3x-1|+|x-a|≤3x 在[■， ■]恒成立，

    所以 3x-1+|x-a|≤3x，即|x-a|≤1，即a-1≤x≤a+1，

    所以a-1≤■，a+1≥■，解得-■≤a≤■，故所求实数a 的取值范围是[-■， ■]. ……10分

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