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例谈转化与化归思想在解题中的应用

范文

一、思想方法解读

1.转化与化归思想

化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：在解决数学问题时，常常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解答.用框图可直观地表示为：

其中问题B成为化归目标或方向，转化的手段成为化归策略.化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题.

2.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.

（4）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

3.转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.

（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.

（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接地反映函数或方程中的变量之间的关系.

（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.

（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别等.

（6）实际问题与数学模型的转化要注意依据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，去求有利于问题解决的转化与化归的途径与方法.

4.转化与化归的常见方法

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.

（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.

（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.

（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径.

（8）特殊法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.

（9）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化.

（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.

（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题.加强命题法是非等价转化方法.

（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集，从而获得原问题的解决.

以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.

二、活学典例印证

考向1：正与反、一般与特殊的转化

【考情分析】? 此类问题多以填空题的形式出现，难度适中，属中档题.主要涉及函数、解析几何中的存在性问题或含“至多”“至少”等词语的问题.

【方法突破】? 在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索.在解决该类问题时，一定要注意搞清结论的反面是什么，即搞清问题的否定形式.一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性来解决.

例1? ?给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y= x-1 ax-1 （其中x∈ R 且x≠ 1 a ），证明：

经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴.

证明：? 设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2.

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，

即 x1-1 ax1-1 = x2-1 ax2-1 ，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

由x1≠x2，得a=1，這与已知条件“a≠1”矛盾，因此假设不成立，即直线M1M2不平行于x轴.

点评：该题正面求证很困难，但通过找出反面的矛盾，从而证明原命题的正确.本题中“不平行”的否定是“平行”，通过假设“直线平行”，然后得出矛盾，从而推翻假设.

例2? ?若椭圆C的方程为 x2 5 + y2 m =1，焦点在x轴上，与直线y=kx+1总有公共点，那么m的取值范围为? ? ? .

解析：? 由椭圆C的方程及焦点在x轴上，知0

又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点（0，1），

则定点（0，1）必在椭圆内部或边界上，

则 02 5 + 12 m ≤1，即m≥1.

故m的取值范围为[1，5）.

点评：特殊与一般转化法是在解决问题过程中，将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法.本题抓住直线过定点（0，1），这一特殊点必在椭圆内部或边界上，从而较方便的得出结果.

考向2：常量与变量的转化

【考情分析】? 此类问题既有填空题，也有解答题，难度适中，属中档题，主要涉及求参数的取值（或取值范围）问题.

【方法突破】? 在含有两个变量x和a的问题中，若视x为未知量确定a的取值有些繁琐时，解答中可视x为常量，转化为关于a的方程或不等式问题求解.

例3? ?对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围.

分析：? 习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p，于是问题转化为：当p∈[0，4]时，y>0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，這是相当复杂的.

解析：? 设函数f（p）=（x-1）p+（x2-4x+3），显然x≠1，则f（p）是p的一次函数，要使f（p）>0恒成立，当且仅当f（0）>0，且f（4）>0时，解得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.

点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色.在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.

考向3：数与形的转化

【考情分析】? 此类问题多以填空题的形式出现，难度适中，属中档题，主要涉及函数或方程、解析几何、平面向量中的问题.

【方法突破】? 通过数与形的转化，可以利用对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量关系，有时还能由几何图形提示解决问题.

例4? ?求函数f（x）= x2-4x+13 + x2-12x+37? 的最小值.

解析：? f（x）= x2-4x+13 + x2-12x+37

= （x-2）2+（0-3）2 + （x-6）2+（0-1）2 ，

设A（2，3），B（6，1），P（x，0），则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值，如图点A关于x轴的对称点为C（2，-3），

因为|PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|=4 2 ，

所以f（x）的最小值为4 2 .

点评：本题如果直接对原式进行变形，有一定运算量，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题.数形结合思想方法也是常见的重要方法.

考向4：数学各分支之间的转化

【考情分析】? 数学各分支之间的转化是一种重要的解题策略，应用十分广泛，此类问题多以解答题的形式考查，难度适中，属中档题，其中三角换元是高考的常考内容之一.

【方法突破】? 常见方法用代数法解三角问题、用三角法解解析几何问题，用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题，立体几何中位置关系的论证，角和距离的计算都需要转化为平面问题来处理，运用这些解题的策略，往往能提高创新思维能力.

例5? ?若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上有两个不同的解，则实数a的取值范围是? ? ? .

解析：? cos2x+4asinx+a-2

=1-2sin2x+4asinx+a-2

=-2sin2x+4asinx+a-1，

令t=sinx，t∈[0，1]，则原题转化为方程-2t2+4at+a-1=0在（0，1）上有两个不同的根.

令f（t）=-2t2+4at+a-1，由二次函数图象可知： Δ>0f（0）<0f（1）<00< 4a 4 <1 解得： 1 2

点评：本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角问题转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.

例6? ?如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC.

（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1p2p3A，如图（b）所示.求证：侧棱PB⊥AC;

（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角.

解析：? （1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C.故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，

且PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC，AC平面PAC，∴PB⊥AC.

（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD.∵PB⊥AC，PD⊥AC，

且PB∩PD=P，∴AC⊥平面PBD，BD平面PBD，∴BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.

设P3A=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= x 3 = x2-42 ，∴EP3= 2 .

故CP3=2 2 ，P2P3=4 2 ，

由AC·DP3=CP3·AE得DP3= 8 3 ，

又BP3= BP22+P2P23 =6，

所以BD=BP3-DP3= 10 3 .

在△PDB中，cos∠PDB= 4 5 ，

∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为 4 5 .

点评：立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算往往是转化为平面内的角来求解.

考向5：相等与不等之间的转化

【考情分析】? 此类问题多以填空题的形式考查，难度适中，属中档题，主要涉及函数的值域、均值不等式、导数等问题.

【方法突破】? 含参变量的不等式中，求参数取值范围是高考的一大热点，当变量易于分解时，转化为a0>f（x）（或a0

例7? ?若正数a、b满足ab=a+b+3，則ab的取值范围是? ? ? .

分析一：? 运用均值不等式定理a+b≥2 ab ，将原等式转化为不等式.

解析一：? ∵a、b为正数，∴a+b≥2 ab .

∵ab=a+b+3，∴ab≥2 ab +3.

∴（ ab ）2-2 ab -3≥0.

∴ ab ≤-1（舍）， ab ≥3，

∴ab≥9，∴ab的取值范围为[9，+∞）.

分析二：? 由ab=a+b+3，从中解出b，代入ab中，将二元转化为一元.

解析二：? 由ab=a+b+3，得b= a+3 a-1 ，

∴ab= a2+3a a-1 ，a>0，b>0，∴a>1.

∴ab=a-1+ 4 a-1 +5≥2 （a-1）· 4 a-1? +5=9.

当且仅当a-1= 4 a-1 ，即a=3或a=-1（舍）时取等号.

∴ab的取值范围为[9，+∞）.

点评：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的重要方法.

考向6：实际问题与数学模型的转化

【考情分析】? 实际问题是高考的必考内容，在实际应用问题解决时，所涉及的数学知识点并不多，关键是将实际问题向数学模型的转化.通过观察分析，直觉领悟，注重对逻辑思维能力、理性思维能力和解题方法的考查.

【方法突破】? 数学的本质可以说是变量的数学.因此对变量与常量的辨别与理解至关重要，在审题中要关注好每个量的由来与界定，解题中要关注变量与常量的相对性和层次性，切实做到合理选择，辨别清楚.应用数学的意识和解决实际问题能力的培养，对提高解答数学应用题的能力有着很大帮助.

例8? ?海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈ N A.

（1）若BC=l，求养殖场面积最大值;

（2）若B、C为定点，BC

（3）若（2）中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.

解析：? （1）设AB=x，AC=y，x>0，y>0.

l2=x2+y2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，

xy≤ l2 2-2cos2θ = l2 4sin2θ ，

S= 1 2 xysin2θ≤ 1 2 · l2 4sin2θ ·2sinθcosθ= l2cosθ 4sinθ ，

所以，△ABC面积的最大值为 l2cosθ 4sinθ ，当且仅当x=y时取到.

（2）设AB=m，AC=n（m，n为定值）.BC=2c（定值），由DB+DC=l=2a，a= 1 2 l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC= 1 2 mnsin2θ为定值.只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点.b= a2-c2 =? l2 4 -c2 ，S△BCD面积的最大值为 1 2 ·2c·b=c·? l2 4 -c2 ，

因此，四边形ACDB面积的最大值为 1 2 m·n·sin2θ+c·? l2 4 -c2 .

（3）先确定点B、C，使BC

△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD= l 2 .

S=2S△ACD=2· 1 2 ·AC·AD·sinθ.

由（1）的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为 1 2 · l 2 ·? l 4? tan θ 2? .

所以，四边形ACDB面积最大值为 l2 8tan θ 2? .

点评：本题主要特点是出现的字母比较多，但有些是常量，有些是变量.常见的错误是对题中字母的理解比较肤浅，对常量变量分辨不清，不大会转化，容易致误，如第（2）问中的结果“四边形ACDB面积的最大值为 1 2 m·n·sin2θ+c·? l2 4 -c2 ”.所以，在应用题的解题过程中，遇到常量变量时要灵活分辨，学会转化.

转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上几种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

（作者：朱振华，江苏省海门中学）

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