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导数——高考函数问题的指挥棒

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孙海峰

摘要：导数是解决函数问题的一个有力工具，在高中阶段学习导数，有利于学生更好地掌握函数，理解函数的性质，所以在解决很多高中数学函数问题时，要利用导数的思想来化简问题。

关键词：导数;单调性;極值

函数y=f（x）在x0处的瞬时变化如果当Δx→0时们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f ′（x），即f ′（x。如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a，b）内可导。这时对于开区间（a，b）内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′（x），这样就在开区间（a，b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数，记作f ′（x），即f ′（x数也称导数。函数y=f（x）在点x0的导数f ′（x）的几何意义：表示函数曲线在P0[x，f（x0）]点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一、利用导数求函数的单调区间

函数的一个重要的性质就是函数的单调性，而函数的单调性又是研究函数性质时需要特别注意的。我们通常用定义来判断。但是当函数的表达式相对比较复杂时，判断f（x1）-f（x2）的正负比较困难。这时我们就可以运用函数的导数来判断函数的单调性，只需考虑到f ′（x）的正负即可，当f ′（x）>0时，f（x）单调递增;当f ′（x）<0时，f（x）单调递减。所以说运用导数的知识判别函数的单调性比运用定义法判别更轻松，更简便，可以省去很多的繁琐步骤，而且更能明显地刻画出函数的多种性质，方便下面的研究做题。所以说此方法简单快捷而且适用面广。

例一：设函数f（x）=emx+x2-mx。证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。（2015全国高考卷）

解：f ′（x）=m（emx-1）+2x

若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，f ′（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1≥0，f ′（x）>0;

若m<0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，f ′（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1<0，f ′（x）>0;

所以，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

二、利用导数求参数的值及在指定区间内的极值

求参变量的取值范围是数学中的一个重要内容，有不少求参变量取值范围的问题依靠传统的方法不容易解决，但是借助求导的方法确是一种很有效的解决途径。当需要求指定区间内的极值时，我们需要先求出这个函数的导数，然后根据导数的特点求出函数的极值，特殊情况下，需要先构造新的函数，然后根据构造函数的导数间接求出原函数的极值。当求出极值之后，我们可以根据极值以及函数在区间端点的取值情况来判别函数的最值问题。甚至可以根据函数的极值与单调性情况来判断函数所经过的象限。常考的题型就是既含有参数又要讨论函数的极值情况，这个时候就要先对函数进行求导，然后根据函数的导数讨论该函数的单调区间，也就是对参数进行分类讨论，最后再得到函数的极值点情况，此类题目难度相对较大，需要学生对导数有一定深入的认识，同时也需要学生有足够的耐心去寻找各个变量之间的关系。

三、导数在函数不等式与数列证明中的应用

不等式是组成数学的重要部分。当某些不等式不容易被证明时，可以构造出一个新的函数，然后利用构造出的新的函数的导数求出单调性，然后再利用单调性证明，就可以达到很好的效果，豁然开朗。以下两个例题是利用导数法解函数证明题和函数与数列综合题，此类考题是高考数学题中综合性最强，难度也是最大的题目，通常需要证明其中的变量相等关系或者不等关系，这个时候需要注意变量与变量之间在区间里面的关系，然后再利用导数的知识解决问题。当运用导数解决函数与数列的综合题时，重点是找出这个数列的公比或者公差，进而可以求出数列的通项或者递推关系，最后再结合函数的性质进行求解。数列在高考中所占的比例也是很大的，而求解数列问题所用的方法也是有很多种的，所以学生在求解数列问题时，可以利用函数的思想也就是结合导数的知识来求解数列会达到一种意想不到的效果，往往可以让很多问题明朗化，从而找到解题的思路。

导数的概念及其应用是高中数学的重要部分，也是解决很多函数问题的强有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。总之，学习导数不仅可以使学生对数学有一个新的认识，也会发展学生的辩证思维能力，为以后更深入地学习数学打下基础。

参考文献：

[1]李秋凤.导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息，2006（3）.

[2]韦问敏.高考数学导数试题解题研究[D].云南师范大学，2017.

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