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数学教学中渗透直观想象素养的三重境界

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常国良

摘要直观想象是数学学科六大核心素养之一，其着重从几何直观的视角引导学生感知事物的形态和变化，是核心素养的重要组成部分。但对直观想象的认知，现阶段一线教师往往停留在某一层面，如以“形”辅“数”等认识，忽视了培养直观想象素养的层次性。

关键词直观想象? 以形辅数? 数形结合? 直观模型

新一轮课改，课程标准制定组确定了數学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析六条学科核心素养，从思维视角的各个层面，体现了数学教学应该关注的抽象能力、图形感知、推理能力、运算能力等等发展过程，也预示着数学教学需要从纯粹的解题教学转向数学素养的教学，从问题的解决中去提升学生的数学能力。一线教师应尽可能地在学科教学中渗透学科核心素养，本文以直观想象素养为例，谈一谈数学教学中的渗透直观想象素养的三层境界。

一、形——直面感官想象的能力

新课程标准对于直观想象的水平认知分三个层次，第一是建立简单的图形和实物关系，体会图形和数量的关系。这一水平层次是引导学生在有图形结构的前提下，能获取图形和数量关系，属于直观想象素养培养的第一层次境界，就是对于形的理解、形的绘制、形的思考，也可以称之为“识图解题”。

案例1：空间几何中最小角定理和二面角最大值性质

（2018年浙江8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则（? ? ?）。

A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1

分析：本题考查空间几何中的线线角、线面角、二面角，在同一个几何体中将三种角置于其中，统一考查。本题的解法多样，对于未知思维直观的学生来说，基本是以特殊取值或运算进行求解。

（1）∠SEO即是SE与平面ABCD所成的角θ2，BC是平面ABCD内的一条线，由线面角的最小角特征可知：θ2≤θ1;（2）如图1，取AB中点M，则∠SMO即是二面角S-AB-C的平面角θ3，OM≤OE，tanθ3=≥=tanθ2，所以有θ2≤θ3;（3）如图2，过点O作AB的平行线PQ，过点E作BC的平行线，交PQ于点N，易证∠SEN即是θ1，由，SN≥SO，EN=MO，而tanθ3=≤=tanθ1，可知θ1≤θ3，故选D。

价值：直面感官想象，要弄清楚问题的本质，自然需要不断地加强直观想象能力的培养。如图3，从思维直观的感受来说，教材习题中囊括了最小角定理：平面外直线与平面内直线所成角最小值即为线面角，对于图1来说，即θ2≤θ1;当点A在棱l滑动时，该线面角∠PAH的最大值即为二面角，即θ2≤θ3，故选D。所以有直面感官想象的能力，我们自然获得了“兴于形”的基本能力，也符合了浙江卷选择题命题的基本思路：选择题是选出来的，即排除错误的，获得正确选项的命题理念。

直观想象素养的起源是以图形化问题为载体，从图形中去获得直面感官想象的能力，即能从图中获取合理的思维、减少运算，让思考从形中入手、让思维从形端起步、让思想从形态掌握。

二、思——形成数形结合的思想

中学数学难题的解决，不外乎几何方法和代数方式，纵观高考命题不难发现，几何方法的巧妙往往更受命题者欢喜。高考是选拔性考试，能从两小时的思维含量中区分更为优秀的学生，几何比代数来得更为有优势，而且中学生的代数论证工具和能力都远远不够，几何方法在初等数学中更受青睐，培养学生形成数形结合的问题解决思想显得更为重要。直观想象素养的第二重境界，恰是对于数形结合进一步思考的意义所在，要在看不到图形的地方挖掘图形，体现思维的价值，这正是“思”的意义。

案例2：min{max|f（x）|}问题的通性研究

2018年4月浙江省高中数学竞赛12）设a∈R，且对任意实数b均有|x2+ax+b|≥1，求a的取值范围。

分析：本题是min{max|f（x）|}的通性问题，难度较大，理解较为困难。从参考答案等常规分析来看，分类讨论的介入必不可少。但是对于学生而言，函数问题从图形角度思考，是更直接和直观的想法，因此渗透直观想象的第二层境界，不断培养数形结合的思想成为关键。

形成数形结合的思想：将|x2+ax+b|=|x2-（-ax-b）|=|f（x）-g（x）|，则从图象中可知原题的图形本质是在同一个横坐标处，两点间的距离。如图4，f（x）为曲线MN，g（x）是直线，不难发现，因为直线的斜率和截距均在变化，所以在变化过程中，其两点间最大距离可能在x=0处、x=1处以及抛物线f（x）=x2的某一点处，每一次一条固定的直线均有这个距离的一个最大值，这么多最大值中总有一个最小的，本题的含义恰为此。让直线动起来，从动态变化中不难发现，当直线恰为MN时，总有一个Q点到其距离最大，因此利用切比雪夫最佳逼近原理可知：Kmn=1，Q点处的切线斜率也是1，则能产生min{max|f（x）|}的直线g（x）即能保持三个点到该直线的纵向距离是相等的，达到所谓的“平衡状态”即可。

价值：形成数形结合的思想，是一个长期训练和培养的结果，初等数学正是因为代数工具的欠缺以及机械化运算的不足，才会努力通过几何化方式去寻求问题的解决，这种解决往往提升了思维的层次性，培养了直观想象的素养和能力，成为识图解题后的更高境界——构图解题。

三、新——构建直观模型的体系

前两个层次的学习，可以成为一名优秀的学者，但缺乏水平层次三，尚不能称之为出色。究其原因，以识图解题、构图解题均在知识范畴之内寻求问题的解决，但是数学学科核心素养是致力于学生最终脱离解题之外的数学思考、价值导向，在看不到数学的地方用数学的知识解决问题，才是核心素养真正融入思维的关键。因此，直观想象素养的第三重境界，正是以创新为主导，在自身已有的知识下，进一步从所学维度拓展到更高维度的认知，这才是课程标准数学学科核心素养最终的价值体现。

案例3：利用基底寻求直观模型的建构

如图5，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且=x+y，则x的取值范围是_________;当x=-时，y的取值范围是_________。

分析：向量问题既可以从代数入手，也可以从几何切入，从直观想象的视角来看，我们可以用基底的视角去思考，用类似直角坐标系（即斜坐标系）的方式思考，见图6。

P点所在位置位于斜坐标系阴影区域，因此x<0y>00

原创变式：如图7所示，点O∈平面A'B'C'∥平面ABC，点Q在三棱锥OABC内部运动（不含边界），记=x+y+z，则x的取值范围是多少？若x=时，则y+z取值范围是多少？

分析：以OA→x轴，OB→y轴，OC→z轴建立空间斜坐标系，Q点所在区域满足线性约束条件：x>0，y>0，z>0，0

说明：从向量基底的学习来看，不能就题论题，直观模型体系的培养要从二维基底到空间三维基底，这种学习是基于教师渗透、学生感悟，将知识灵活掌握、形成创新的立意、获得更好的理解，久而久之形成了真正的直观想象素养的更高境界。

综上，于教师而言，真正将核心素养进行落地，需要一线教师在认真研学课程标准的基础上，融入自身教学的思考，这种既能理解课程又能发展学生素养的教学才是符合时代要求的教学，才是与时俱进的教学。于学生而言，直观想象素养基于图形化的解决问题策略是第一层次，进一步深思，不难发现有数形结合思想孕育其中，但是最难的是如何真正建立获得学生思维层次提高的直观模型，这种循序渐进的教学才是直观想象素养落地的真思考、真行动。于教学而言：兴于形——初等数学要注重几何图形的掌握，立于思——问题解决要关注数形结合的魅力，成于新——类比学习要寻求思维创新的突破。因此直观想象素养恰恰是要求教师将这种启发、引导、创新带给学生，从而提高学生直观想象能力和思维的含量，获得更好的学习效果和学习体验，是为直观想象素养三境界。

参考文献

[1] 李昌官.基于核心素养的数学单元教学[J].中国数学教育：高中版，2018（05）.

[2] 王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（09）.

[3] 吕世虎，吴振英.数学核心素養的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017（09）.

[4] 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（01）.

[5] 沈恒.以武思学——管窥复习教学的设计境界[J].中学数学，2018（02）.

【责任编辑? 郭振玲】

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