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关于Jordan标准形的教学探讨

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谢凤艳

[摘要]Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵. 结合教学实践，从教学过程中强化Jordan标准形矩阵是对角矩阵的推广和延伸，通过典型例题讲解，融入Matlab软件，强调应用四个方面对Jordan标准形的教学进行探讨，旨在加深学生对Jordan标准形的认识.

[关键词]方阵;Jordan块;Jordan标准形;Matlab Square matrix;Jordan block

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）08-0108-03

高等代数是学习更一般的代数系统乃至整个数学的基础，它涉及的内容对近代科学技术和数学的任何其它分支非常有用. 矩阵是解决高等代数问题的一个非常有力的工具.它在计算机三维动画制作、电路图、交通流、统计分析、数值分析等领域有着非常广泛的应用.Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵.在全国数学专业硕士研究生入学考试中，华中师范大学、华东师范大学、陕西师范大学、厦门大学、郑州大学等大学多次都涉及到对Jordan标准形的考查. 然而随着高等学校各个专业基础理论课时的减少，数学专业基础课时也大为缩减.很多高校数学专业高等代数课时由以前的周课时六减为周课时四. 不少高校的数学专业把高等代数中“[λ]-矩阵”、“双线性函数”等相关内容作为选修内容，不再作为考试大纲进行课堂讲解. 而很多高等代数教材对Jordan标准形尤其对如何找一个可逆矩阵，将一方阵化成Jordan标准形缺乏系统讨论.由于Jordan标准形矩阵的重要性并且学生对这部分知识自学起来比较吃力，因此教师应尽可能的抽出时间对Jordan标准形相关知识进行讲解。为了深化学生对Jordan标准形的认识，本文结合多年来教育教学实践从以下四个方面对Jordan标准形进行教学探讨.

一、教学过程中强化Jordan标准形矩阵是对角化的推广和延伸

设[A]为[n]级方阵. 是否存在一个形式较为简单的矩阵[B]使得矩阵[A]与矩阵[B]有很多相似的性质，比如相同行列式的值，相同的秩，特征值相等.我们知道，如果矩阵[A]有[n]个线性无关的特征向量，那么矩阵[A]与一个对角矩阵[B]相似，并且[B]对角线上的元素为矩阵[A]的[n]个特征值，重根按重数计算[[1]].然而可对角化的矩阵毕竟是少数的，于是Jordan矩阵诞生了.对于任意[n]级方阵都与一个Jordan矩阵是相似的[[1]]. 而对角矩阵是Jordan矩阵的特殊情况，即若当块为一阶时的Jordan矩阵. Jordan矩阵是“几乎”对角化矩阵.

当[A]可对角化时，设[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=Λ=diag（λ1，λ2，...，λn）].则[Api=λipi]且[（λiE-A）pi=0].即[pi]为[A]的属于特征值[λi]的特征向量.

当[A]不可对角化时，设[P=（p1，p2，...，pn）]使得[P-1AP=J].不妨设[J]为[n]级若当块，即

[J=λ1λ1?1λ].

则[Ap1=λp1]，[Api=λpi+pi-1]（[i=2，3，...，n]）且 [（λE-A）i-1pi-1=0].称[pi]为[A]的属于特征值[λ]的广义特征向量[[2]].

Jordan标准形教学过程中要复习巩固矩阵对角化的相关知识，并强化Jordan矩阵是对角矩阵的推广，Jordan标准形是对角化的延伸及完善.教学过程中教师要按照循序渐进、螺旋上升的教学原则，在教学过程中注重新旧知识的衔接，以便学生克服陌生恐惧的心理. Jordan标准形教学过程中复习巩固矩阵对角化的相关知识，看似比单纯讲解Jordan标准形多花了时间，但却能起到事半功倍的效果，不仅有利于学生对新知识点的掌握，而且能够使学生做到知识点的融会贯通.

二、教学过程中通过典型例题讲解，加深学生对抽象理论知识的认识

抽象性是高等代数一个重要特点[[3]].通过数学例题讲解可以有助于学生对抽象数学知识的理解，深化和巩固学生对数学基本概念和主要定理的认识. Jordan标准形中涉及到行列式计算、线性方程组求解、矩阵运算等相关知识，而教材太过于偏重理论知识讲解，选用例题较少.学生学习这部分知识颇感吃力.因此在Jordan标准形教学的过程中要精选例题并加强对例题的讲解.

（一）可对角化矩阵Jordan标准化的实例

例1 設矩阵[A=122212221]，求可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形.

解由[φA（λ）=|λE-A|=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2λ-1=（λ+1）2（λ-5）]，得[A]的特征值为-1、5.

解齐次线性方程组[（-E-A）x=0]得到对应-1的两个线性无关特征向量：

[p1=（1，0，-1）T，p2=（0，1，-1）T]

解齐次线性方程组[（5E-A）x=0]得到对应5的一个特征向量：

[p3=（1，1，1）T]

令[P=（p1，p2，p3）]，则[P-1AP=J=-1-15].

注：例1可以提前以作业形式布置下来，让学生课后自己完成。课堂上用多媒体课件展示出来即可.

（二）一般方阵Jordan标准化的实例

例2设矩阵[A=-1-26-103-1-14]，求可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形.

解由[φA（λ）=|λE-A|=λ+12-61λ-311λ-4=（λ-1）3，] 得[A]的特征值为1.

因为[r（E-A）=1]，所以齐次线性方程组[（E-A）x=0]的一个基础解系中含2个向量.即[Ker（E-A）=2].同理可得[Ker（E-A）2=3].

设[Ker（E-A）]的一组基[{p1，p2}]并把它扩充为[Ker（E-A）2]的一组基[{p1，p2，p3}]并且满足[Ap1=p1，Ap2=p2]，[Ap3=p3+p2].则

[A（p1，p2，p3）=（p1，p2，p3）1111]，

于是得到[A]的Jordan标准形[J=1111]

下面求解[p1，p2，p3].解齐次线性方程组[（E-A）x=0]得到对应特征值1的两个线性无关特征向量：

[x1=（1，-1，0）T，x2=（3，0，1）T]

令[p1=x1]，[p2=c1x1+c2x2]（其中常数[c1，c2]的选取使得[p1，p2]线性无关），则[Ap1=p1，Ap2=p2]+[p1].为了使得[Ap3=p3+p2]有解.可得[c1=-c2].令[c1=-c2=-1]

得到非齐次线性方程组[Ax3=x3+p2]的一个特解：[p3=（1，0，0）T]

从而[P=（p1，p2，p3）=121-1-10010]，

且[P-1AP=][J=1111].

通过例1学生已经熟练掌握特征值、特征向量及可逆矩阵[P]求解，在此基础上进行例2的讲解.由学生已知对角化的过程及[λE-A]核的求解，逐步推导出矩阵[A]的Jordan矩阵以及求解可逆矩阵[P]使得[P-1AP=J]为Jordan标准形的方法.以启发式、引导式原则讲解例2，引导学生积极主动地思考做题的方法，这样不仅使学生对所学到的相关知识点融会贯通，而且加深了对“每个[n]级复数矩阵都与一个Jordan标准形矩阵是相似的”等教材相关结论证明的理解.

对于任意一个不可以对角化的方阵[A]来说，[A]的Jordan矩阵[J]中对应某个特征值[λi]的若当块[J（λi）]的阶数可以通过下列方法求解.

计算

[r1（λi）=r（λiE-A），r2（λi）=r（λiE-A）2，...，rk（λi）=]

[r（λiE-A）k]

直到[λiE-A]某个[k]方幂的秩不再变化，这个[k]就是[λi]的最大子块阶数.设[rt（λi）=rk（λi）（t≥k）]，阶数为[l]的子块个数为[bl（λi）].则

[bl（λi）=n-2r1（λi）+r2（λi） ? ? ? ? ? ? l=1rj+1（λi）-2rj（λi）+rj-1（λi） ? ? ?l=2，3，...，k.]

例2中求解Jordan矩陣和广义特征向量方法比较简单，但当一个方阵[A]的阶数较高且[A]的某个特征值的重数较大时，用此方法求解广义特征向量从而确定Jordan块的阶数就不太容易了.这就要寻找别的方法. 求解Jordan标准形的方法有很多，比如参考文献[4-7]，教师可以从中选择一种或者多种方法课堂中进行讲解，从而加深学生对Jordan标准形的认识.

三、 Jordan标准形教学过程中融入Matlab软件

信息技术是当下高校教育教学必不可少的辅助力量。随着计算机技术的迅猛发展，将常用的数学软件融入到高等代数教学中已成为一种趋势[[8]].

Matlab是matrix和laboratory两个词的组合，意为矩阵实验室.它是一款由美国The mathworks公司出品的商业数学软件. MATLAB是一种用于算法开发，数据可视化，数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境.Matlab软件强大的计算功能使得Jordan标准化轻而易举. 比如求一可逆矩阵[P]使得例2中的矩阵[A]满足[P-1AP=J]为Jordan标准形. 在Matlab窗口中输人：

>>A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4];%输入矩阵A

>>[P，J]=Jordan（A） %求可逆矩阵P使得P-1AP为Jordan标准形.

执行命令，出来结果：

注：Jordan矩阵[J]除了Jordan块的排列次序外和例2求解的Jordan矩阵一样. 因为齐次线性方程组的一个基础解系中的向量不唯一，所以可逆矩阵[P]的选取不唯一.

通过系统学习及一系列的练习，绝大多数学生能够对Jordan标准形求解方法熟练掌握，但由于Jordan标准形中涉及行列式求解、方程组求解、矩阵运算等相关知识，其计算量非常大，稍不留神就会出错， Matlab软件简单容易操作.利用Matlab软件使得矩阵Jordan标准化变得轻而易举，从而提高学生的学习兴趣，获得更好的教学效果. 信息化时代，作为高校教师，应该与时俱进，适当改革传统教学方法将数学软件引入教学，使学生体会到数学学习的时代性，但值得注意的是高等代数作为数学专业的一门基础课程，Matlab在其教学中只能作为辅助教学软件，且不可取代教材知识，成为主要教学工具.

四、 Jordan标准形教学过程中强调应用

学以致用是教学的最终目的.随着科技的发展，矩阵的应用已经在计算机三维动画制作、电路图、交通流、统计分析、数值分析、微分方程等领域有着非常广泛的应用。矩阵理论的发展极大地推动和丰富了其他众多学科的发展. Jordan标准形反映了矩阵的本质性质并且是形式最为简单的方阵.因此Jordan标准形教学过程中教师应指出Jordan标准形的一些应用，比如：求一个方阵的[k]次幂[[7]]、求解常系数线性微分方程组[[8]]以及对方阵特征值考查[[9]]. 此外借助Matlab软件，让学生解决一些现实生活中的问题，比如系统状态方程[[10]]等.教师可以简单罗列一些应用，然后通过布置作业，分任务的形式让学生分组收集整理相关的一些应用.这样不仅进一步加深了学生对知识的认识而且提高了学生的参与度，还能调动学生学习的积极性，提高学生分析问题、解决问题的能力.

五、结语

Jordan标准形定理在高等代数中有着非常重要的地位。近年来，多种考试中对Jordan标准形的考查也是一个热点问题。鉴于目前高等代数教学的现状，本文结合数学专业本科生教学实践从Jordan标准形教学过程中四个方面：即强化Jordan标准形矩阵是对角矩阵的推广和延伸，典型例题讲解，融入Matlab软件，强调应用对Jordan标准形的教学进行探讨，从学生熟知的对角化问题着手，引入Jordan矩阵，采用启发式、引导式原则展示出Jordan标准形相关知识，旨在加深学生对Jordan标准形的认识，为高等代数的教学提供一些参考价值.

[参考文献]

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社， 2013：342-348.

[2] Bru R， Rodman L， Schneider H. Extensions of Jordan bases for invariant subspaces of a matrix[J].Linear A1gebra App1.1991，150：209-225.

[3] 刘峥嵘. 关于《高等代数》习题课教学的几点体会[J].南昌教育学院学报，2011（2）：51-52.

[4] 李尚志.若當标准形的计算[J].大学数学，2006（5）：1-10.

[5] 易福侠，王金林.矩阵若当标准化的一种新方法[J].大学数学，2009（3）：164-167.

[6] 张长记，江建民.用初等变换法求矩阵的若当标准形[J].河池学院学报，2012（5）：51-53.

[7] 冯福存.矩阵的Jordan标准形及其应用[J].绵阳师范学院学报，2016（5）：11-15.

[8] 兴友，黄始颖，刘畔畔，高静.MATLAB软件在高等代数教学中的应用初探[J].数学学习与研究，2017（23）：10.

[9] 张姗梅，刘耀军.矩阵标准形的应用[J].忻州师范学院学报，2016（2）：8-12.

[10] 高芳征，常瑾瑾.矩阵若尔当标准型的标注[J].安阳师范学院学报，2010（2）：12-14.

[责任编辑：林志恒]

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