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标题 三角形在折叠背景下的变式探究与应用
范文

    马兴官

    

    

    

    摘要：本文以一道折叠三角形的题目为例，引导学生动手操作，助推抽象思维、空间想象思维的生长，真正体会到数学解题思路的形成来源于哪里，用在哪里，领悟数学内涵的学习意义.

    关键词：变式探究;设元构建;通性通法

    1 问题提出

    例如图1，翻折AABC，使得点C与点B重合，折痕DE分别交边AC，BC于点D，E，连结BD.能得到哪些结论？

    解析 由折叠可得到ADCE与ADBE关于直线DE对称，所以由轴对称的性质可知ADCE≌ADBE.

    因为点C与点B重合，所以DE垂直平分BC.即DB= DC.从而得到∠C=∠DBC.

    本题是折叠三角形中的一个角，使这个角的顶点落在另一个顶点上（特殊情况）而得到的一些隐含的结论，若这个角的顶点落在三角形的边上、三角形的内部或外部等非特殊情况时，又可以衍生出哪些新的问题或可以编拟哪些试题.

    2 变式探究

    2.1 点C落在三角形的顶点上

    变式1如图1，∠C =40°，翻折AABC，使得点C与点B重合，折痕DE分别交边AC，BC于点D，E，连结BD.若△ABD恰好是等腰三角形，求∠ABC的度数.

    解因为翻折△ABC，使得点C与点B重合，所以△DCE≌△DBF.

    所以∠C= ∠CBD =40°，∠ADB= 80°.

    若△ABD恰好是等腰三角形，则AD =AB或AD=BD或AB= BD.

    当AD =AB时，∠ABD= ∠BDA= 80°，

    所以∠ABC =40° +80°= 120°;

    当AD=BD時，∠A= ∠ABD=180°-80°/2=50°，

    所以∠ABC =40° +50° =90°;

    当AB= BD时，∠ABD =180°-80°×2=20°，

    所以∠ABC= 40° +20°=60°.

    所以当△ABD恰好是等腰三角形时，∠ABC的度数为120°或90°或60.

    点评 通过三角形的折叠产生全等三角形，利用全等三角形的性质定理得到边、角的对应相等关系;其次，AABD是等腰三角形，但不能确定哪两条边是相等的，所以利用分类讨论的数学思想及设元构建方程模型进行解答得到三种答案.

    2.2 点C落在AABC的对边上

    变式2如图2，∠BAC =60°，翻折△ABC，使得点C落在AB边上的点D处，折痕AE交边AB于点E，连结DE.若ABDE恰好是等腰三角形，求∠ABC的度数.

    解由折叠可知∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=1/2×60°= 30°， ∠C=∠ADE，且∠C+∠B =180°- 60°= 120°.

    设∠B =x，则∠C =120° -x.

    所以∠BDE =180°- ∠ADE =60°+x.

    所以∠BED =120° -2x.

    若△BDE恰好是等腰三角形，则BD= BE或BD= DE或BE= DE.

    当BD= BE时，∠BDE=∠BED，所以60° +x=120°- 2x，解得x=20°;

    当BD= DE时，∠B= ∠BED，所以x=120°- 2x，解得x= 40°;

    当BE= DE时，∠B=∠BDE，所以x=60°+x，无解.

    所以当△BDE恰好是等腰三角形时，∠ABC的度数为20°或40°.

    点评通过折叠变换使点C的对应点从特殊位置到非特殊位置，但依旧满足折叠前后的两个三角形全等;其次，△BDE恰好是等腰三角形，类似上述分析解法，易得结果.

    2.3 点C落在△ABC的内部

    变式3如图3，在△ABC中，AB =AC，∠BAC=64°，AG是BC边上的中线，翻折AABC，使得点C落在AG边上的点F处，折痕为DE，连结BF.若BF是∠ABC的平分线，求∠EFG的度数.

    解由翻折知EF= EC.

    所以∠EFC= ∠ECF=1/2∠FEG.

    因为AB =AC，AG是BC边上的中线，由“等腰三角形的三线合一”性质，知AG垂直平分BC.

    连结FC，得BF= FC，所以∠FBC= ∠FCB.

    因为BF是∠ABC的平分线，所以∠FCB=∠FBC=1/2∠ABC=1/2×180°-64°/2=29°，

    所以∠FEG =2∠ECF =2 x29° =58°.

    所以∠EFG =90° -58° =32°.

    点评 在变式2的基础上，通过折叠的动态变化，使点C的对应点落在三角形的内部而产生新的图形，新的问题从图形的直观上感知图形由简单变为复杂，显然难度也随之提升.解决问题的关键是能否挖掘折叠中所隐含的要素（EF= EC），以及对等腰三角形的性质定理的认知程度（AG垂直平分BC）和“在同一个三角形中，等边对等角”的性质定理的应用能力.

    变式4 如图4，在AABC中，AB= AC，∠BAC=64°，AG是BC边上的中线，翻折△ABC，使得点C落在AG边上的点F处，折痕为DE.若点F在AB的垂直平分线上时，即FH垂直平分AB，求∠EFG的度数.

    解由翻折知EF= EC.

    所以∠EFC= ∠ECF=1/2∠FEG.

    因为AB =AC，AG是BC边上的中线，由“等腰三角形的三线合一”性质，知AG垂直平分BC.

    因为点F在AB的垂直平分线上，连结BF，得AF= BF =FC.

    所以∠ABF=∠BAF=1/2∠BAC=1/2×64° =32°，

    ∠FCB=∠FBC=180°-64°/2一32° =26°.

    所以∠FEG=2∠FCG=2 x26° =52°.

    所以∠EFG= 90°-52°=38°.

    点评在变式3的基础上，从点F落在∠ABC的平分线上改变为落在线段AB的垂直平分线上而产生新的问题.所以利用线段中垂线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，连结BF、FC构造辅助线段，得到三条相等的线段（FA= FB=FC），再利用变式3的解法进行解答探究.

    2.4 点C落在AABC的外部

    变式5如图5，在△ABC中，已知AB =AC，∠A= 52°，翻折△ABC，使得点C落在△ABC的外部点D处，折痕为EF，若ADCH是等腰三角形，求∠CFE的度数.

    解因为AB =AC，∠A =52。，

    所以∠B=∠C=180°-52°/2=64°.

    由折叠知∠CFE= ∠DFE =x，∠C= ∠D =64°.

    所以∠DHG= ∠BHF= ∠HFC - ∠B =2x -64°.

    所以∠DGH =180° -2x·

    若△DCH是等腰三角形，则DC= DH或DC= HG或DH =HG.

    当DG= DH时，∠DGH=∠DHG，所以180°- 2x= 2x - 64°，解得x=61°;

    当DG= HG时，∠D=∠DHG，所以64°=2x -64°，解得x= 64°;

    当DH= HG时，∠D=∠DGH，所以64° =180° -2x，解得x=58°.

    所以當△DGH是等腰三角形时，∠CFE的度数为61°或64°或58°.

    点评 利用折叠操作的随意性，把点C的对应点的位置从三角形内部移到三角形的外部时，再添加一些条件而产生新的问题.由折叠的性质发现对应角相等（∠CFE=∠DFE，∠C= ∠D），结合设元建立含参数的代数式表示ADGH的各个内角的度数，利用△DGH是等腰三角形进行分类讨论和方程思想解决问题.

    以上论述的是通过三角形的折叠问题.即围绕某一数学主题（点的位置变化），通过知识聚焦整合，设计一系列的问题，探究充满未知的神奇经历，使试题自然的变式生长拓展，在解决问题的方法中利用分类讨论思想、方程思想、中垂线的性质、等腰三角形的性质等探寻通性通法，追求“解一题，会一片”的效果;其次，问题的解决依赖于对折叠中所隐藏的图形位置和数量关系的认识与理解，如：图形折叠后，可以得到对应线段、对应角相等，对称轴垂直平分对称点的连线段的性质而添加相应的辅助线揭示图形的本质规律，感受几何图形的魅力.

    3 拓展应用

    例2 在△ABC中，∠B =2∠C.

    （1）如图6，若D为线段BC上一点，AD平分∠BAC，猜想AB，BD，AC三者之间的数量关系，并说明理由;

    （2）如图7，若AB =5，BC =11，求△ABC的面积.

    解 （1）猜想：AC =AB +BD.

    理由：如图6，因为AD平分∠BAC，

    所以∠BAD=∠CAD.

    所以把△ABC沿AD折叠，则点曰落在射线AC的点B1处.由折叠的性质可得AB =AB1，∠B= ∠AB1D，BD= B1D.因为∠B =2∠C，所以2∠C=∠AB1D=∠C+ ∠B1DC，即∠C= ∠B1DC.

    所以BD= DB1 =B1C.

    因为AC =AB1 +B1C，所以AC =AB +BD.

    （2）如图7，折叠△ABC使点B落在射线BC的点F处，折痕为AE.

    由折叠知AB =AF，AE垂直平分BF.

    所以∠B=∠AFB，BE= EF.

    因为∠B =2 ∠C，所以2∠C=∠AFB=∠C+∠CAF.所以∠C=∠CAF.

    所以FC =AF =AB =5.

    所以BE= EF =1/2BF=1/2×（11 -5） =3.

    所以AE：√AF2-FE2=√52-32=4.

    所以S△ABC=1/2·BC·AE：1/2xll x4：22.

    点评 正如喻平教授所讲：数学知识分为三个能级，即知识理解、知识迁移、知识创新.本题在理解三角形折叠变化所产生的新的问题和解题方法，通过知识的迁移，方法的引领，发现本题的（1）、（2）两小题同样可以通过折叠的方式解决，让所学知识在实际问题的解答中充分的发挥作用，即学以致用.

    4 结束语

    荷兰数学家弗赖登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来，而动手操作正是学生数学思维的催化剂.本文沿着“操作探究——运算推理——操作探究——深化应用”的轨迹，探究图形变换的性质，感悟图形研究中运动变换的思想，以动态和相互联系的观点理解图形的性质和相互关系，发现运动中的变与不变，研究变化中的数量关系，整个过程体现了“做数学、思数学、用数学”的理念;其次，通过动手操作的方式引导学生用自己的思维方式重新变换创造，进一步助推抽象思维、空间想象思维的生长，真正体会到数学解题思路的形成来源于哪里，用在哪里，领悟数学内涵的学习意义.
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更新时间：2025/3/14 10:18:07