《一道网格作图题的求解思路探索》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

网站首页词典首页

标题

一道网格作图题的求解思路探索

范文

刘永智

摘要：网格作图除了使用直尺之外，不能使用其他的作图工具，这使得作图难度加大，并且对几何理论的要求及灵活性都有较高的要求，因此，要摸索问题与定理证明的相似性，培养学生联想问题的能力，寻找问题解决的突破口.

关键词：网格作图;勾股定理;作图

1 题目呈现

题目（2014年天津）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

（1）计算AC2+ BC2的值等于____;

（2）请在如图1所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于AC2+BC2.并简要说明画图方法（不要求证明）____.

2 题目探析

对于问题（1），因为AC=√2，BC =3，因此，AC2+BC2=11.

看到问题（2）这样的作图问题，我们觉得其形式有点像勾股定理，能不能用欧几里得证明勾股定理的思路来做这道题呢？

为此，先来看看欧几里得证明勾股定理的方法：

如图2，分别以Rt△ABC的三边a，b，c为边向形外作正方形ACHF，正方形BCGK，正方形ABED，连结CD，FB，过点C作CL⊥DE交AB于点M，交DE于点L.

通过勾股定理的欧几里得证明我们可以看出利用作平行线的方法可以做到三角形面积与矩形、平行四边形等面积之间的相互转换，利用全等可以将一个图形的面积转换为另一个与它全等的图形的面积，利用这个思路，我们可以尝试求解问题（2）.

因为问题（2）中的△ABC不是直角三角形，不能利用将以AB为边的正方形切割为矩形，使其面积等于以AC和BC为边的正方形的面积和.因此可利用如下做法：

分别以△ABC的三边AC，AB，BC为边向△ABC外作正方形ACDE，正方形ABDE，正方形BCHI，如图3所示，要作出一个以AB为边，面积等于AC2+ BC2的矩形，可以先类似于勾股定理证明的做法，将正方形ACGF和正方形BCHI的面积合并为一个平行四边形，并且使其一边长等于AB，延长FG交HI于点.，，交CH于点L，连结AL，CJ，则四边形ACJL是一个平行四边形，并且正方形ACGF的面积等于平行四边形ACJL的面积，也就是说S□ACJL=S正方形ACCF= AC2.

作BS∥CJ交HI的延長线于点S，同理可得S□BCJS= S正方形BCHJ= BC2.

通过所作的图形，我们可以得出△ABC≌△LSJ，因此，S□ABSL= S□ACJL+ S□BCJS= AC2+ BC2。

平移□ABSL到如图3所示的□AMNB的位置，边MN交AE于点P，延长MN交BD于点Q，则矩形APQB的面积等于oAMNB的面积.因此，矩形APQB即为满足要求的矩形.

从这种作图方法可以看出，该问题的形式有些像勾股定理的形式，因此可以利用勾股定理的证明思路求解此题.也说明在学习数学的过程中，需要掌握一些比较经典的证明问题的思路，求解问题的方法，在解题的过程中，通过比较异同，就可以找到求解类似问题的方法.这是我们在学习过程中要引起重视的一个方面.

另外，对于问题（2），也可以从数量方面进行思考，通过网格图的观察和分析题意，我们知道要作的矩形以AB=√17为一边，面积等于AC2+BC2=11.也可从以AB为边的正方形中切去一个面积是6的矩形即可.通过观察图形，可以计算出△ABC的面积是÷.因此，也可以用如下的做法：

如图4，以AB为边在△ABC外作正方形ABGF.

这种方法告诉我们，在几何问题中，直接求解比较困难时，可以考虑从数量关系的角度求解，这也是一个比较好的方法.

从这道题的求解可以发现，对于一些数学问题的求解，可以从形式上考虑利用经典问题的求解思路，也可以从数量关系方面去思考.这也正是数学问题的精妙之处，我们要好好体会与领悟.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。