《化折为直寻捷径》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

化折为直寻捷径

范文

蔡磊

摘要：最短路径问题是初中数学中的经典问题，进行最短路径问题分析需要综合运用初中数学知识.常用的方法是借助轴对称、平移等知识转化，利用“两点之间线段最短”求线段和的最小值，从而解决最短路径问题.

关键词：最短路径;轴对称;将军饮马

1 背景

经过七年级一八年级上册的数学学习，学生初步具备几何变换以及建立数学模型的思想，初步获得了数学转化思想这一解题技能，具备了自主探究、合作交流、分析归纳、猜想验证的能力，但他们的逻辑思维能力和抽象能力还有待加强.最短路徑问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，也比较缺乏解决这方面问题的经验.特别是面对具有实际背景的最值问题，学生更会感到陌生、无从下手.

2 教学设计

2.1 内容及内容分析

本课是在学生学习了三角形、轴对称之后，作为对全章的知识拓展提高的部分，是作为探究性学习的内容，以课题学习的形式出现.本课以“将军饮马”这一经典数学问题为背景，进一步理解和掌握“两点之间，线段最短”和轴对称的性质.让学生经历运用所学知识解决实际问题的过程，感悟数学的实际价值，初步了解数学转化的思想，为以后学习更多的最短路径问题，打下坚实的基础.近年来最短路径问题也是中考的热点，而本课的教学是中考中这一类型题解决的基础，因此有着相当重要的作用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能利用轴对称解决简单的“最短路径”问题.

2.2 教学目标及目标分析

2.2.1 目标

（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题;

（2）有机地把实际问题和数学模型统一使用，提高解决实际问题能力;

（3）能有效进行解决问题过程的反思，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.

2.2.2 目标解析

目标（1）：在“两点之间线段最短”这一数学事实的基础上，巩固所学过的轴对称的性质，从形象的实际问题中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用;

目标（2）：经历对最短路径问题的探究过程，体会转化的数学思想，加强综合运用知识的能力;

目标（3）：在解决数学问题的过程中，能及时调整解题思路;在解决问题之后，能对这一类型题的使用背景、解题步骤、程序和方法进行总结归纳并会运用.

2.3 学情分析

对于直线同侧的两点和直线上的动点，怎样确定动点的位置，使这一点到这两点的距离之和最小.在本节课的探究过程中，学生可能会想到用求直线上一点到已知两点的距离相等来切入，这是开始学习的一个误区.学生另一个较容易犯的错误是过一个点作关于直线的垂线段，再将垂足与另一个点连接，这是由于弄错了“垂线段最短”这个定理的使用背景.应引导学生将这一数学问题与“做过的其他模型进行联系和对比，引导学生把新知向1日知迁移.教师从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”是为学生搭建“脚手架”

在证明“最短”时，可以采用另选一个点作为“参照物”的方法，借助三角形三边关系的定理进行证明，证明之后对这一类型题进行归纳：证明“最大”“最小”问题，可以构造一个“参照物”的点，将参照点的数量与所求的最值进行比较完成证明.需要注意的是，参照点选取应具有任意性和一般性，

由此，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称的知识，将这一类问题转化为“两点之间线段最短”的问题

2.4 教学过程设计

2.4.1 创设情境，提出问题

师：多媒体出示图1，提出问题：有一位将军骑马从军营（点A）返回家中（点B，如图1所示的三条路线，哪条最短？为什么？

生：学生回答，并说明理由，

教师总结：“两点之间，线段最短”.也可以用“三角形两边之和大于第三边”来解释.

设计意图初步接触实际背景的“最短路径问题”，理解这一类型题用到的数学定理，为下一个问题做准备

2.4.2 实例分析，建立模型

多媒体出示问题1：如图2，还是这位将军，他骑马从军营（点A）出发，到一条笔直的河边Z饮马，然后回到家中（点B）.将军在河的什么地方喂马喝水，他走的路程最短？

生：动手操作，总结数学模型：当两个点A、B分别位于直线l的两侧时，线段AB与直线Z的交点P就是所求的点.

设计意图让学生进一步感悟“两点之间，线段最短”这一基本事实在实际生活中的应用.

问题2：如图3，还是这位将军，如果他把家搬到了军营同侧.将军骑马从军营（点A）出发，到一条河边Z喂马喝水，然后回到家中（点B.将军在什么地方喂马喝水.他所走的路程之和最短？

生：自主探究、小组讨论.

师：介绍将军饮马问题.将问题2与问题1进行比较：问题1是直线同侧两点;问题2是直线异侧两点，两道题目所求的都是最短路径——两条折线之和.

设计意图小组交流协作，进一步培养学生解决问题的能力.

师生活动1：教师引导几个不同的学生在黑板上画出图形，并说明各自的理由.学生讨论得出解决思路：

（1）要想办法把问题2转化成问题1的图形，解决问题.

（2）问题1是两条折线在直线异侧.如何将同侧折线转化为异侧折线，又不改变折线的长度？——把其中一条线段对称到直线异侧去，对称并不会改变线段长度.

（3）在线段一个端点是定点（点B），另一个端点是动点（直线l上的动点）的前提下，如何将线段进行轴对称至直线异侧？——做定点关于动点所在直线的对称点.

（4）完善作图步骤：只要找到其中一个定点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与该直线的交点即为所求.

师生活动2：学生做出点C，教师引导学生归纳并写出作法（如图4）.

作法：①作点B关于直线l的对称点B;

②连接AB，交直线Z于点C，则折线ACB就是最短的路线.

师生活动3：让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明，引导学生不妨在直线上另外任取一点C'，连接AC、BC、B'C，证明AC +BC

证明如图5，在直线l上，另外任取一点C，连接AC、BC、B'C，

由作图可知，点B和点B关于直线Z对称.

所以直线Z是线段BB的垂直平分线（轴对称的性质）.

因为点C与C在直线l上，

所以BC =BC，BC=BC（轴对称的性质）.

在△ABC中，AB

所以AC+BC

所以AC +BC

设计意图从问题2中抽象出数学模型，理解和掌握知识的形成过程，锻炼学生的逻辑思维.

2.4.3 应用模型，解决问题

练习1：如图6，已知点P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使得△PQR的周长最短吗？

师生活动：学生自主探究，小组讨论得出做法：如图7，由题意可知PQ的长度固定，所以要使得△PQR的周长最短，只需满足PR+ QR最短即可.先做出点P关于BC的对称点P，再连接P'Q，交BC于点R，点R即为所求.

师生活动：学生自主探究，小组讨论得出做法：如图9，先做出点D关于AC的对称点：在正方形的背景下，點B与点D关于对角线AC对称，点B即为对称点，再连接BD，两条对角线BD与AC的交点即为F点，此时PD+ PE= PB+ PE= BE= AB.已知正方形ABCD的面积为12，可求出边长AB =2√3.所以PD+PE最小值为2√3，

设计意图让学生增强应用意识，进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.

2.4.4 课堂小结，梳理归纳

（1）明确最短路径问题的背景：直线同侧有两个定点，求直线上一个动点的位置，满足动点到这两个定点的距离之和最小.

（2）总结问题的解决方法：

（3）这种解决方法所用到的数学原理：轴对称的性质、两点之间线段最短.

（4）归纳作图方法：如图10，①作点B关于直线l的对称点B;②连接AB，交直线l于点C，则折线ACB就是最短路线.

设计意图提高学生反思过程的针对性，突出建立数学模型的思想方法.

2.4.5 思维拓展，课后思考

问题：如图11，还是这位将军，从军营出发，先去草地边（射线OA）喂马吃草，再去河边（直线Z）饮马，最后回到军营（点P）.问怎样走路程最短？

设计意图应用本节课的知识解决问题，也为下一节课做好铺垫.

2.4.6 布置作业

（1）基础级;

（2）提高级;

（3）挑战级，

设计意图体现分层教学思想，符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念.

3 教学反思

（1）“最短路径问题”共有12个模型，本节课只讲了其中的2个模型及其运用.这节课对本学段的学生难度较大，但也是在为后续10个模型打基础.所以本节课应从学生实际出发，以学生理解掌握为首要目的.宁可慢一点，不可贪快.

（2）如果两点在一条直线异侧时，过两点的线段与原直线的交点处构成的线段的和最小.那如果是两点在一条直线同侧，求两条线段之差的最大值呢？这些都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.另外很多问题都可用此法解决，如台球的运动轨迹、光线的反射路径等.

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