标题 | “手拉手”模型的结论及应用 |
范文 | 沈占立 “我们手拉手,友谊传四方.”这是1988 年汉城奥运会主题曲《手拉手》里的歌词.在八年级几何里也有“手拉手”模型,与它相关的问题很多.构造此模型解决一些问题非常方便.现将其基本图形和结论归纳如下, 一 两个共直角顶点的等腰直角三角形] “手拉手”基本图形如下: 已知:△ABC,△DBE均是等腰直角三角形,BA =BC,BD=BE.∠ABC=∠DBE=90°. 结论:△ABD≌△CBE(边角边). 例,如图4所示,在△ABD和△AEC中.∠BAD=∠CAE =90°.AB=AD,AC=AE.DC,BE交千点M. (1)求证:BE=DC; (2)求证:DC⊥BE; (3)求∠AMD的度数, 解析:本题蕴涵两个共直角顶点的等腰直角三角形.图中△ADC可以看成是△ABE绕着点A(旋转中心)顺时针旋转90°而得的. (l)易证△ABE≌△ADC(边角边),故BE=DC. (2)由(1)知△ABE≌△ADC,故∠AEB=∠ACD.在由A,M,C,E组成的“8字形”图中,∠CME=∠ CAE=90°,故DC⊥BE. (3)如图5,过A点作AG⊥BE于G,AH⊥DC于H.由“手拉手”基本图形易得△EAG≌△CAH(角角边),故AG=AH,MA平分∠DME,所以∠AMD= ∠AME=45°. 例2(2015年·黄石)如图6,已知直线AB交x轴于点A(a,O),交),轴于点B(O,b),且a,b满足la+b l+(a+4)2=0.点c在第一象限,且BE⊥AC于点E.延长BE到D,使BD =AC连接OC,OD,CD.试判断△COD的形状,并说明理由. 解析:△COD為等腰直角三角形,理由如下: 由题意知a=-4,b=4,故A(-4,0),B(O,4),则OA =OB.又BE⊥AC.所以∠BEA= ∠BOA =90°.由A,O,E,B组成的“8字形”基本图形可知∠CAO= ∠DBO.又BD=AC.故△AOC≌△BOD,所以OC=OD.∠BOD=∠AOC.则∠COD= ∠AOB=90°,△COD为等腰直角三角形. 二 两个共顶点的等边三角形 已知:如图7、图8、图9,△ABC,△DBE均是等边三角形. 结论:△ABD≌△CBE(边角边). 侧3 如图10所示,已知等边△ABC和等边△EAD,AC和AD在同一条直线上,BD与 CE交于点O.AB 与CE交于点M.AE与BD交于点N,连接MN.求证:(1)AN=AM; (2) MN//CD. 证明:(l)易证得△BAD≌△CAE.故∠ADN=∠AEM.又∠MA E=60°= ∠NAD ,AD=AE,所以△DAN≌△EAM.AN=AM. (2)由(l)知AN=AM,而∠MAN=60°.则△AMN是等边三角形.故∠MNA =60°=∠NAD,MN//CD. 三 两个共顶点的正方形 已知:如图11,以△ABC中AB,AC边为边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG, 结论:△ABG≌△AEC(边角边). 例4 如图12,△ABC中.∠ACB=90°.设BC=a,分别以直角三角形的三边为边向外作正方形ABDE,正方形ACFG,正方形BCMN.过点C作AB边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K.则四边形BDKH的面积为____(用含口的式子表示). 分析:本题初看似乎无从下手.联想“手拉手”基本图形,连接AN.CD就不难解决. 解:连接AN,CD,如图13.由“手拉手”基本图形易证△ABN≌△DBC. |
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