| 标题 | 运用导数巧解不等式 |
| 范文 | 李建源 自从学习了导数知识内容以后，我们在解决求切线方程式、求函数单调性、极值、最值及不等式证明等数学问题时更加简捷、方便。导数的广泛应用带来了新思路、新方法。不等式题型是中学数学中一种最常见的题型，同学们通过解答此类题型可以掌握数学的一些基本知识，还可以锻炼自己各方面的解题能力，如自学能力、综合分析能力、逻辑思维能力等，解决好这类题型能够使自己在“实”“强”“技巧”等方面得到加强。在解决不等式问题时，巧妙地运用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易、迎刃而解。本文通过一典型例题的三种不同解法，从构建新函数入手，利用函数单调性、函数的最值等阐述导数在不等式证明中的应用。 典型例题：已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，证明：f（x）-g（x）>2 方法一： 解题思路：通过两函数作差构造一个新函数，研究该函数的单调性，找出其最值。如本题证明f（x）-g（x）>2，只要构造一个函数t（x）=f（x）-g（x），只需要证明函数t（x）的最小值为2即可。 解：令函数t（x）=f（x）-g（x）=ex-lnx，定义域为（0，+∞）。 t′（x）=ex-， 令t′（x）=0时的点为x0，即：t′（x0）=e-=0， 此时，e= ∵f（x）=ex与f（x）=-均为增函数 ∴t′（x）=ex-为增函数。 则x>x0，时，t′（x）>0，函数t（x）为增函数， x 则t（x）在x=x0处存在最小值t（x0）=f（x0）-g（x0）=e-lnx0 ∵e=，x0=e，lnx0=-x0 ∴e-lnx0=+x0>2 （∵x0≠1） 所以，t（x）=f（x）-g（x）>2 方法二： 解题思路：在某些情况下，当构建一个函数模型解题困难时，可考虑同时构建两个函数模型，来研究这两个函数最值。如本题证明f（x）-g（x）>2，构造函数m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x，只需要证明m（x）的最小值与n（x）的最大值之差大于2即可。 解：设m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x 定义域为（0，+∞）。 ∵m′（x）=ex-1，又x>0 ∴m′（x）>0，函数m（x）为增函数， ∴m（x）>e0-0=1 又∵n′（x）=-1，当x=1时，n′（x）=0 x<1时，n′（x）>0，函数n（x）为增函数， x>1时，n′（x）<0，函数n（x）为减函数， ∴函数n（x）在x=1处存在最大值n（1）=ln1-1=-1 ∴m（x）-n（x）>1-（-1）=2 ∴ex-lnx>2 所以，f（x）-g（x）>2 方法三： 解题思路：构造两个函数，研究这两个函数最值，如本题证明f（x）-g（x）>2，構造函数m（x）=，n（x）=+，只需要证明m（x）的最小值大于n（x）的最大值即可。 解：令m（x）=，n（x）=+ 定义域为（0，+∞）。 m′（x）=-=（x-1），x=1时，m′（x）=0 x>1时，m′（x）>0，函数m（x）为增函数， x<1时，m′（x）<0，函数m（x）为减函数， ∴函数m（x）在x=1时有最小值m（1）=e n′（x）=-+-=--=-（lnx+1） 当x=e-1时，n′（x）=0， x>e-1时，n′（x）<0，函数n（x）为减函数， x ∴函数n（x）在x=e-1时有最大值n（e-1）=2e-e=e 因为，m（x）与n（x）函数图像不相交， 所以，m（x）>n（x） ∴>+ 即，ex-lnx>2，f（x）-g（x）>2 比较以上三种方法可以看出，为了求导的方便，针对每种解题方法，函数的构建非常重要，通过合理构建函数，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路、降低问题难度。 |
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