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标题 例谈数列教学中数学思想的提炼与渗透
范文

    蒋文梅

    摘 要:数列是我们中学数学的重点内容,也是历年考试考查的热点。在我们的数列教学过程中,如果能够挖掘、提炼教材本身蕴涵的数学思想,并有意识地对学生进行渗透,有着十分重要的意义。本文结合我的教学实践并以一些具体的试题为例,将几种重要的数学思想梳理总结。

    关键词:高中数学;数列教学;数学思想

    一、函数的思想

    可以说,有数学的地方往往也就有函数,而等差、等比数列的通项公式,前 项和的公式都可看成正整数 的函数,因而数列问题往往可转化为函数问题来解答。

    例1.等差数列的前 项和为30,前 项和为100,则它的前 项和为( )

    A.130 B.170 C.210 D.260

    分析:本题解法很多,但若由 ,这表明 是n的一次函数,从而由 、 、 三点共线,易得 故选(C)

    二、方程的思想

    解决数列问题的最常规思路就是利用各基本量 之间的关系,联立方程组求解。这种基本方法体现了方程的思想。

    例2.设 是等差数列 的前 项和,已知 与 的等比中项为 ,而 与 的等差中项为1,求等差数列 的通项公式 .

    分析:

    由

    故所求通项公式为: 或

    说明:运用方程思想求解,有时会运算较繁,这就需要结合所联立方程(组)的特点,注意解方程(组)的技巧,等以达到求简、优化的目的。

    注:函数与方程是高中数学的重点内容,它贯穿于数学教学的全过程,学会用函数与方程思想去认识和处理各种背景的数学问题,是高中学生必须具备的数学素养,也是历年高考热点。在教学中应摆在重要位置,加强训练。

    三、对称的思想

    等差(等比)数列的各项均具有对称性,如到首末两端等距离的两项的和(积)相等;项数和相同的两项的和(积)相等;有穷数列末项除外,从第2项起,每一项都是与它等距离的两项的等差(比)中项,等等。运用这种对称思想解题常会使解法来得简捷。

    例3.设等差数列 的前 项和为 已知 指出 中,哪一个最大?并说明理由。

    分析:由等差数列的对称性

    知 是递减数列,故 最大。

    说明:该题也可用函数的思想来获解,但不如上解利用对称的思想解决来得简捷而美妙!而且,这种对称思想本身就体现了数学的美,在数学教学中,提高学生理解和欣赏数学的美,可大大激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,提高学生的数学品位。

    四、一般與特殊的思想

    由于特殊情况包含于一般情况之中,所以凡一般情况下具有的性质,特殊情况下也应具有;而在特殊情况下不具备的性质,一般情况下也必不具备。运用这种一般与特殊的思想来指导解题常会收到意想不到的效果。

    例4.设数列 公比不相等的两个等比数列, 证明:数列 不是等比数列

    分析:据统计,多数考生仍然按证明一个数列不是等比数列的一般方法,去论证 (一般),殊不知,这样运算量大,变形也很复杂。事实上,只要论证 (特殊)就足以说明 不是等比数列。证明过程(略)。

    五、分类讨论的思想

    分类讨论思想是中学数学中最重要的数学思想之一,在数列的相关公式中也体现的较为充分。

    例5.设等比数列 的前 项和为 若 ,求公比 .

    分析:(1)当 时 , ,而 , 与题设矛盾,故

    (2)

    说明:许多考生遗漏了对“ ”的情形,造成“对而不全”,遇见字母要讨论的意识,即分类讨论的思想,必须给予强化,这不仅是解题的需要,也是训练学生思维周密性不可缺少的环节!

    数列中蕴涵丰富的数学思想,它们是解题的指导思想,较之数学知识与技能,具有更高的层次。作为我们教师,不能只在高三复习中渗透数学思想,更重要的是要在高一、高二的平时教学中有意识地对学生进行潜移默化的熏陶。作为学生,在学习过程中,应逐步领悟数学思想的重要性,并自觉运用数学思想分析、解决问题,以增强自己运用数学思想的意识和能力。

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更新时间:2025/3/15 22:38:26