标题 | 浅析高中数学小题中有关构造函数问题 |
范文 | 宋英军 【摘 要】为同学们总结有关函数导数中小题的部分题型的解题思路,帮助其摆脱对函数导数的阴影,特对函数导数中的部分小题做出一些个人的总结,希望对同学们有些许帮助。 【关键词】高中数学;构造函数;由条件推导新函数 根据各种有关函数构造小题,本人将其分为两大类:⑴有关函数奇偶性的简单函数构造问题。⑵单纯的复杂函数构造问题。由于例题过于繁杂,本人便不一一列举。不过,在讲述解题方法之前,本人先对其所用的基本公式进行一下说明,以便于之后的总结。 由于目前高中对函数介绍较少,对于函数导数的运算主要应用以下几个公式: 1.函数导数的加减法运算公式; 2.函数导数的乘法运算公式; 3.复合函数的求导公式。 为了便于做出总结,特在此将函数导数的除法运算公式做一些改动。改动并证明如下:fxgx′=f′xgx-fxg′xgx2fx gx-1′=f′xgx-1+fxg′xgx2=f′xgx-1+fxgx-1′可知,函数导数的乘法运算公式与除法运算公式实质性等同。 类型一:有关函数奇偶性的简单函数构造问题; 1.(高考)奇函数中的构造函数问题的显性应用 常见条件:①fx在R上可导;②fx+f-x=2Ax2在R上恒成立;③f′x-2Ax在0,+∞或-∞,0为正或为负。 构造过程:fx+f-x=2Ax2fx-Ax2=-f-x-A-x2。所以,fx在R上为奇函数。令gx=fx-Ax2,则g′x=f′x-2Ax,即得新函数gx为所求函数。 2.(拓展)偶函数中的构造函数问题的显性应用 常见条件:①fx在R上可导;②fx-f-x=2Ax在R上恒成立;③f′x-2A在0,+∞为正或为负。 构造过程:fx-f-x=2Axfx-Ax=f-x-Ax。所以,fx在R上为偶函数。令gx=fx-Ax,则g′x=f′x-2Ax,即得新函数gx为所求函数。 3.(拓展)隐性应用 众所周知,两个奇函数相加仍为奇函数,偶函数亦然。而x的奇次方为奇函数,x的偶次方为偶函数。如果上述的奇函数与x的奇次方相加,偶函数与x的偶次方相加,即可构造出更加復杂的函数。但因其难度太大,在此便不做具体说明。 类型二:单纯的复杂函数构造问题 1.(高考)幂函数与未知函数的乘法问题 常见条件:①fx在R上可导;②xf′x+Afx在0,+∞或-∞,0或R上为正或为负。 构造过程:令gx=xAfx,得g′x=xAf′x+AxA-1fx=xA-1xf′x+Afx。即得新函数gx为所求函数。 2.(高考)指数函数与未知函数的乘法问题 常见条件:①fx在R上可导;②f′x+Afx在0,+∞或-∞,0或R上为正或为负。 构造过程:令gx=eAxfx,得g′x=eAxf′x+AeAxfx=eAxf′x+Afx。即得新函数gx为所求函数。 3.(高考)正余弦函数与未知函数的乘法问题 由于此类问题形式简单而种类繁多,我将以表格形式列出。表格如下: 4.(高考)三项式问题 常见条件:①fx在R上可导;②Ax+Bfx+xf′x在0,+∞或-∞,0或R上为正或为负。 构造过程:因为Ax+Bfx+xf′x=xf′x+Afx+Bfx=xf′x+Bfx+Axfx,所以猜测新函数gx=eAxxBfx,得g′x=eAxxB-1Ax+Bfx+xf′x。故新函数gx为所求函数。 以上便是本人对小题中函数构造的全部见解,希望对同学们有些许帮助。 【参考文献】 [1]五年高考,三年模拟.组卷网 |
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