| 标题 | 单元教学设计之等差数列前n项和公式 |
| 范文 | 张丽 【摘 要】 在单元教学过程中，本节内容以“等差数列前项和公式”为主线，将生活问题、数学文化融入课堂，适当设计小组讨论和学生独立思考，为学生创造课堂展示的机会、提供发挥自我能动性的平台。 【关键词】单元教学；等差数列；前n项和 本节课的教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）中第二章第三节的第一课时。求数列前n项和其本质是研究如何将很多项的求和表达式尽可能简化为有限项的运算形式，通过对求和公式的推导可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。 一、创设情境 问题：如图所示，梯形围挡中堆放了一些木柴，堆放形式如图所示，请问： ①前6层共有多少根木头？ ②前15层共有多少根木头？ ③前50层共有多少根木头？ 每个问题提出后给学生适当的时间进行计算，然后鼓励学生自主发言，在他们回答结果的同时说出计算方式。 设计意图：通过情景的设置让学生感受到：对于等差数列，当n比较小时，我们能把几项和直接计算出来，但当n比较大时，我们无法立即计算出来。此时，我们就需要将n比较大时的很多项求和形式想办法转换成有限项的表达式。 二、探究新知 1.前n项和的定义 一般地，我们称a+a+a…+a为数列{a}的前n项和，用S表示，即S=a+a+a…+a。 教师引导学生分析本节课所学知识的本质——怎样简化表达S，即怎样将前n项和中很多项的形式转化成有限项的表达式。联系已有知识和方法，从什么途径解决这个问题？此时，老师带领学生回顾前面学习等差数列通项公式推导时所用到的方法，利用前面所学方法的思路简化运算过程。 2.等差数列前n项和公式 （1）从代数角度推导等差数列前n项和公式（倒序相加法） 高斯是德国著名的数学家，相传在高斯10岁那年，他的数学老师给全班同学出了一道题“1+2+3+…+100=？”高斯仅用几分钟就把结果算出来了，使他的数学老师大为折服。 1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50×（1+100）=5050 由学生讨论其算法的巧妙之处，教师适时点评。 那么，对于一般的等差数列求前n项和，高斯算法对我们有什么启示呢？ 设等差数列{a}的首项为a，公差为d，S=a+a+…+a由学生讨论，总结出高斯算法对一般等差数列求和的指导意义。 老师给个提示，请同学们回忆一下梯形面积公式是如何推导的？小组之间进行讨论，选小组代表发表讨论结果。课件演示：如何求以a为上底，b为下底，高为h的梯形面积s的大小？并配有图形。 因此，在求一般等差数列前n项和时，可采用这种“倒置”的思路，让学生自己动手实践。 （2） 从几何角度推导等差数列前n项和公式（数形结合——割补法） S=a+a+a+…+a。 我们将等差数列{a}的每一项看作宽度相等高度成等差的小矩形，由等差数列的性质得（a+a）=（a+a）=（a+a）=…=（a+a），即如图3所示： 由图形可知S=2S=长×宽=n·（a+a） 则S=。 同理，S=2S=长×宽=n[2a+（n-1）d] =2na+n（n-1）d 即S=na+d。 因此，等差数列前n项和公式为：S==na+d。 三、例题讲解 例1：学习了等差数列前项和公式，我们就能解决本节课开始时所提出的问题3：前50层共有多少根木头？ 由等差数列前n项和公式：S=na+d可知当a=4，d=1时，S=4n+=，n=50时，S==1425。 因此，堆导出第50层时共有1425根木头。 四、课堂训练 给学生时间独立完成课本上的练习题，再由小组交流，同伴补充，教师点评。 五、课堂小結 小组讨论，代表发言，师生补充。 （1）知识技能方面：等差数列前n项和公式S==na+d的推导及运用； （2）数学思想方法方面：运用倒序相加法和数形结合法推导等差数列前n项和公式。 六、教学反思 教学的重点是探索与发现公式推导的思路，我们的目标主要是让学生知道这个公式的来龙去脉，以及这个公式背后隐藏的数学思想方法与思维过程，而并不仅是让学生机械地记住这个公式。因此，教师需要适时为学生搭建“脚手架”，引导学生回顾梯形面积公式的推导方法，实现由“高斯算法”到“倒序相加法”的平稳过渡。 等差数列前n项和公式是本节课的教学主线，生活问题和数学文化丰富了课堂内容，运用倒序相加法和割补法来进行公式的推导是本节课的灵魂所在。因此，将数学知识的形成过程清晰完整地展现在学生面前显得尤为重要，我们数学教师要努力做一个讲道理的好老师。 【参考文献】 [1]工敬文.数列的教学设计研究[D].东北师范大学，2006 [2]覃倩.等差数列前n项和公式教学设计及其分析[J].吉林省教育学院学报，2012.28（310）：29-30 |
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