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品味圆锥曲线中的创新问题

范文

梁洪星

網锥曲线中的创新问题主要围绕“定义的巧用、离心率的求解、焦点三角形的面积、焦点弦长问题、轨迹方程的探究、直线与网锥曲线的位置关系探究，以及定值、定点、最值和范围”等展开，凸现“设而不解，整体思维”的合理简化运算的数学素养。

一、构建不等关系求圆锥曲线离心率的值或范围

品味：求离心率的值或范围，常依据题设构造a、c、的齐二次式，借助基本不等式、平面几何性质和曲线本身范围构建关于a、c、的不等关系，本题中在构建a、c满足的不等关系时既用到不等式取等号的条件，又用到双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c、a的几何性质。

二、直线和圆锥曲线位置关系中的探索性问题

品味：利用向量运算探究a，b，c，e的关系是基础，当知道直线与网锥曲线的一个交点去确定另一个交点时，是通过联立直线方程与网锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系确定，凸显直线和网锥曲线中“设而不解，整体思维”的简化运算基本方法的应用。

三、参数法探求动点的轨迹方程或进而简化求最值问题

品味：直接找不出动点的横坐标x与纵坐标y之间的关系，则可借助中间变量（参数可能不止一个），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。注意题设参数隐含的范围对横、纵坐标的限制作用。

四.合理选择参变量探究直线恒过定点问题

品味：本题探究以MN为直径的网是否经过定点，需要将网的方程（含参数）写出来，那么重点就是要求出M，N两点的坐标。而M，N两点是由直线PA，QA派生出来的，我们得先探讨P，Q的坐标。这里提供了两种方法：第一种，设直线PQ的方程为y=kx，通过解方程组求得各个量，引入了参量k;第二种，直接设出P，Q的坐标，用参量、r0，y0表示其他量。从运算的角度容易看出，解法二稍胜一筹。这道题给我们的启示是：在设参的选取上，解答方案通常有两种：设直线或设点，只有合理选参，才能减少运算。本题用到网的直径式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0（网的直径的端点是A（x1，y1）、B （x2，y2））。

五、由图形的对称性猜想定点并证明一般情形

品味：求解直线和曲线过定点问题，常常注意图形的对称性，南特殊位置猜测出定点，再在一般情况下进行检验。如本题，在解交点时用到轮换式，猜定点时斜率不存在和特殊化处理都用到图形的对称性。

六.与圆锥曲线有关的最值或范围问题

品味：解决网锥曲线中的最值或范围问题一般有两种途径：一是利用几何意义，特别是用网锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙;二是将网锥曲线中的最值或范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单渊性法及均值不等式法，本题第（2）问就是用的单渊性法来求|BM|+|BN|的范围的。

（责任编辑王福华）

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