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函数与导数求解中的“误区警示”

范文

唐杰

本文对函数与导数解题中的常见误区分类例析，剖析其出错的原因，并给出警示，希望能引起同学们的高度重视。

误区l——外层函数奇偶性判断中忽略整体变量的范围

警示：判断外层函数的奇偶性，实质是利用换元法求外层函数的表达式，换元过程中一定要注意原变量的值域，这个值域为外层函数的定义域。

误区2——分段函数在R上的单调性忽略分界点函数值的大小

警示：分段函数在区问上单渊到R上单渊，既要保证区间上单渊又要注意区间分界点处函数值的大小关系。

誤区3——分段函数不等式求解忽略分类或每段的前提条件

警示：分段函数不等式求解，利用分类讨论思想，关键在于“对号入座”，即分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解不等式，注意取值范围的大前提，然后把两个不等式的解集并起来即可。

误区4——二次函数有一个零点误用判别式

警示：二次函数有一个零点时一定要分清是R上还是区间上，R上可用判别式，区间上单纯地用判别式求解会出错，此时应用根的分布求解。

误区5——二次方程根的分布忽略条件

警示：一元二次方程的根的分布，可以作出对应二次函数图像进行判断，主要从开口方向、判别式、对称轴、区间端点处的函数值的正负等构建不等式组求解。

误区6——幂函数单调性应用中缺少分类意识

警示：本题巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展。解题过程中利用图像关于y轴对称的特点，将函数不等式转化为含绝对值不等式的解法，蕴含的这种“转化”思想，既拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试。

误区7——混淆过曲线某点的切线与在某点处的切线

警示：（l）曲线的切线不一定和曲线只有一个交点。（2）“在”某一点的切线和“过”某一点的切线是两个不同的概念。（3）在某一点的切线若有则只有一条，而过某一点的切线往往不只是一条。（4）用导数求切线的斜率时，必须要设出切点，采取“待定切点法”求解。如本题，当A不是切点时，设切点（x0，y0），切线斜率为k，三个未知量需用三个条件求解：①y0=f（x0），②k=f'（x0），③k=，解得切点坐标得到其切线方程。

误区8——混淆“导数为O”与“有极值”的逻辑关系

警示：对于可导函数而言，取到极值的充要条件是两侧异号。“导数为零”是“有极值”的必要条件。

误区9——误认为分段函数的极值只能在导数为零的点处取得

警示：分段函数的极值可能存在于导数为零处，也可能存在于函数的分段点处。作出其图像，数形结合是最保险的方法。

（责任编辑王福华）

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