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运用几何意义破解绝对值不等式问题

范文

封其峰

含绝对值不等式的常用解法有：

（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号。

（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解。

（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点之间的距离求解。

（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解。

在此，我们重点讲解如何运用几何意义，解绝对值不等式。

问题一、利用几何意义解两项绝对值不等式

代数法与几何意义解决绝对值不等式问题的对比。

评注：代数法解决绝对值不等式时，要根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法。利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏。利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想。

问题二、利用几何意义解三项绝对值不等式

评注：从以上解答过程中可以看到，解答该题的关键是把问题转化为：在数轴上观察动点x与各个零点之间的关系，从而获得所求解集。

问题三、利用几何意义运用绝對值不等式的解集求参数的取值范围

评注：解法一是利用数轴通过零点间的相互关系，找出使不等式恒成立时的参数k的取值范围;解法二，首先是把|x+l||x-2|构造为函数y=|x+l|-|x-2|，再画出分段函数的完整图像，对比两个函数y=|x+l|-|x-2|与y=k的图像，使得函数y=|x+l|-|x-2|的最小值恒大于k，从而获得k的取值范围。

（责任编辑王福华）

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