标题 | 空间平行、垂直证明与求空间角高考考点探究与突破 |
范文 | 王喜 直线、平面平行(垂直)的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定及其应用等内容。题型主要是解答题,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想。同时,其问题形式一般是:首先,在几何体中证明平行或垂直关系;其次,结合獲取的平行或垂直关系求几何体中的异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离,以求二面角的平面角居多。 考点一:直线,平面平行的判定及其性质与线面角 通过空间向量求空间角是高考中的必考内容,涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容。命题以解答题为主,解题要求有较强的运算能力,广泛应用函数与方程思想,转化与化归思想。 例1 如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA上平面ABCD,AD∥BC.AB=AD=AC=3.PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。 (1)证明MN∥平面PAB: (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。 规律总结:(l)证明直线与平面平行,一般有以下几种方法:①若用定义直接判定,一般用反证法;②用判定定理来证明,关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程;③应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面。 (2)判定平面与平面平行的方法:①利用定义;②利用面面平行的判定定理;③利用面面平行的判定定理的推论;④面面平行的传递性(a∥β,β∥γ=>a∥γ);⑤利用线面垂直的性质(l⊥a,l⊥β=> a//β)。 考点二:直线,平面垂直的判定及其性质与二面角的平面角 利用空间向量求二面角,一是要找到适合的坐标原点建立空间直角坐标系,二是要求出两个半平面的法向量,最后把两个法向量的夹角反映为二面角的平面角,通过求解相应的三角函数值,落实二面角的平面角。 例2 如图6,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点o,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=5/4,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=√10。 (1)证明:D'H⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D 'A-C的正弦值。 解析:(l)由已知可得AC⊥BD,AD= 规律总结:(l)解决垂直关系的基本问题时要注意:①紧扣垂直关系的判定定理与性质定理;②借助于图形进行判断;③通过举反例进行判断。 在已知平面与平面垂直时,一般要用性质定理进行转化。在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。 通过以上的两个例题,我们主要是针对求线面角、二面角的解题思路做出了解答,目的在于帮助同学们对这两类热点题型在思想与方法上进行归纳、总结,当我们再次遇到时可以做到有的放矢。 (责任编辑 王福华) |
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