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在历程中学会数学学习

范文

丁爱平

摘要：儿童的数学学习，只有在历程中才能真实地发生、深入地推进和长足地发展。关于历程，当下存在不少认识误区，导致儿童数学学习虚假、肤浅、被动和碎片化。教师应立足儿童立场，让儿童在历程中学会数学学习：展开具身认知，在真实的历程中体验真学习;精进三个方面，在深刻的历程中实现学习进阶;涵养学科精神，在完整的历程中走向长远发展。

关键词：历程数学学习具身认知学科精神学会学习

课堂，是师生共同经历的生命旅程，无法复制，不可重来。课改十余年间，“过程比结果更重要”的声音一直在我们耳畔回响。近来，有专家相继提出“关注学习历程”“教学评一体化”“在学习中学会学习”等主张。不难发现，“历程”一词在某种程度上成为“学”的重要标志。

在小学数学学习的语境中，“历程”是什么意思？历，经历、亲历，强调儿童的亲身体验;程，过程、进程，凸显学习路径和发展态势。一段高品质的儿童数学学习历程是有层次结构的：外显层是儿童真实地体验数学知识和技能的形成过程;中间层是儿童的思维深度卷入，在思维砥砺中获得学习进阶;内隐层是儿童在知识探索过程中对学科精神的价值体认和深层次的精神愉悦。

绝大多数教师都知道要关注学习历程，然而相关的教学实践并不那么顺利，甚至存在不少认识误区。我们亟须匡正误区，做出理性思考：理想中本应该美好的学习历程为何出现了畸变？课堂学习历程应该怎样重构？最终又将走向何方？

一、數学课堂学习历程的认识误区

（一）历程不等于回到零点再出发，虚假的历程剪切学习的“真实性”

当下，越来越多的学生带着课前从培训机构或家长那里“快递”来的知识“包裹”进入学校课堂。为了弥补学生缺失的学习历程，有的教师用力过猛。例如，一位教师让学生猜想圆的周长和直径之间有没有关系，在表格中填写计算结果。学生嘀咕：算这个干吗？反正C=πd呀。后来呈现的数据竟然都在3.14左右徘徊！学生坦言：我们不能直接写“≈3.14”，因为老师希望我们猜想出来。把学生拽回零起点的教学方式，无形中制造了虚假的历程。对此，学生的内心是不屑的，他们浮躁地满足于“知其然”，一旦面对复杂多变的实际问题就束手无策，有人称之为“我经历了假的学习”。虚假的历程还让学生失去对学习的敬畏感，假装学习去配合教师。这对其成长十分有害。“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上”，教师要基于学情“以学定教”。学生拥有真实的探究历程，学习才能真正发生。

（二）历程不等于平面铺陈学习单，肤浅的历程冲淡学习的“深刻性”

很多年轻教师都有历程意识。为此，他们在课堂上很少讲授，而是依次“晾晒”学生的学习单，蜻蜓点水地做一些补充。七八份学习单说完了，也就下课了。学生没有认知冲突，没有豁然开朗，这样的历程是肤浅的、表层化的，缺乏深度、没有力度。究其根源，教师没有深耕课堂，没有沉潜到思维方法和能力提升的层面，为学生搭建思维的“台阶”。教师需要打破平面铺陈，实现数学意义的深层建构，让学生在深刻的历程中实现学习进阶。

（三）历程不等于亦步亦趋走一遭，被动的历程幽闭学习的“创造性”

有的学生很乖巧，认真按照教师的要求参加学习活动，但是他们只有表面的行为参与，没有深层的思维激荡，学习的产出很少。一节课下来，学习在他们的头脑中没有留下太多痕迹。亦步亦趋的“小木偶”长期待在接受式学习的舒适区，没有和数学知识产生意义联结，感受不到数学学习过程中应有的生命力和创造力。学习应是主动建构的过程，课堂应是学生大胆批判、自由创造的舞台。教师要为学生主动建构知识提供机会和空间，让学生卷入学习的全过程，而不是跟着走过场。

（四）历程不等于知识技能速占有，碎片化的历程吞噬学习的“完整性”

有些数学课的小环节太多，教师想把好的东西一股脑儿都给学生，学生始终处于奔走状态，头脑里塞满了碎片化的知识。这样的历程碎、快、杂，学生缺乏一整段安静、从容的学习活动时间。这样的历程指向数学知识技能的达成，缺乏对素养的完整关注。教师必须从功利化的教学观念中解放出来，让一节课的学习历程释放学生的心灵，涵养数学学科精神，升华情感态度价值观，促进学生学会学习，获得长远的发展。

二、数学课堂学习“历程观”的重构

有质量的过程才会创造有质量的结果。笔者所在的区域团队在理论与实践中努力寻找历程的本质，重构小学数学课堂教学的“历程观”。

第一，始于真实，获得师生共学的真实历程。以学生的“学”为中心，教师作为学习伙伴和学生一起探索，经历生动活泼的学习过程，让学生学习的路径看得见，思维的痕迹留得下。

第二，行于深刻，抵达动态生成的学习进阶。教师精心提炼问题，设计适宜的有挑战性的任务和评价，让学生经历个性化思考与合作探究的学习过程，发展高阶思维，获得学习进阶。

第三，臻于发展，拥有学科素养的完整观照。基于学生未来发展的需要，充分发挥数学素养在促进学生学习和生活等方面的重要价值，让数学课堂学习历程真正成为学生生命成长的旅程。

不难发现，数学课堂学习历程具备三个特点：真实性、深刻性、完整性。

具体来说，学生在一节数学课上的学习历程大致是这样的：首先，教师抛出精心设计的“大问题”，学生从问题出发展开真学习;接着，学生通过独立思考和合作探究来挑战“大任务”，深度推进学习历程;完成一个任务后，教师及时评价反馈;然后，生成新的问题、新的任务与新的评价……如此螺旋前进。

三、在历程中学会数学学习的实践策略

基于“历程观”的数学课堂教学，如何着力体现真实性、深刻性、完整性？有哪些基本的实践策略？下面，笔者结合教学案例具体阐述，以期抛砖引玉。

（一）展开具身认知，在真实的历程中体验真学习

学会学习的第一要义就是“真”。展开具身认知（具体化），符合学生年龄特征，让学习活动可感可见，不再是被动的、虚假的差事，而是像呼吸一样自然。具身认识是当下推崇的一种学习方式，它强调学生的身体、心智、环境三个方面的和谐运作，让学生的学习在由身体、心智、环境构成的认知系统中真实生成、充分展开、自觉内化。

1.解构前概念，倒逼真实的探究。

这里的“解构”是指，对一个数学知识进行分解，再重新建构。针对虚假历程的现象，教师对学生的前概念进行拆解，暴露学生的认识偏差，帮助学生在具身认知的活动中重新建构对概念的正确理解。

例如，教学《分数的意义》，不少学生提前学过，笔者在课前学习单上提问：单位“1”为什么要加双引号？有学生认为，单位“1”是表達一份或几份的数，不只是一份，所以要加双引号。有学生认为，单位“1”在分数里不是真正的单位。还有学生认为，单位“1”是最原始的一份，其他数是在单位“1”的基础上增加的——对此，课上，有学生表示，分数的概念中有“一份”，单位“1”也表示“一份”，两个“一份”都把人搞糊涂了。显然，很多学生把单位“1”与分数的意义、分数单位混淆了，甚至把单位“1”作为计数标准了。

鉴于此，笔者组织了“寻找四分之三”的体验活动，让学生回归生活场景，用动手分一分和图文结合的形式来表现四分之三。因为有了实际的操作体验，学生对四分之三的实际意义建立了更为直观清晰的表象认知。再回到课堂进行对比：同样是四分之三，为什么表示的物体个数却不同？四分之一的“一”和单位“1”有什么不同？通过提炼和概括，凝聚出单位“1”的概念和分数的意义。

2.创设实境，建立鲜活的经验库。

实境是事物场景的具体描写、所见所闻的真实记录、至情至性的自然流露。通过创设实境的具身认知方式，可以帮助学生获得对数学的理解。

例如，教学《分米和毫米》，笔者在教室中布置生活场景，让学生找一找、量一量、记一记，学生眼看、手动、脑想、嘴说，切身感受1分米、1毫米的实际长度，表象感知。量感的建立并非一蹴而就的，需要通过实境、实感等具身认知的方式体验和内化，形成对物体的量的经验。新授课结束后，笔者带领学生建立“我的长度测量”数据库（如表1），用认识的长度单位感知身边的物体。

“我的长度测量”数据库日期物体名称长度我的感受我有提问教师不应泛泛地布置任务，而应指导学生学有所悟、学以致用，鼓励他们从“书桌数学”中走出去，用数学的眼光关注身边的生活世界，建立鲜活的经验库，从符号世界走向经验世界，使鲜活的经验库成为进一步符号学习的经验基础。

3.自然留痕，看见真实的思维轨迹。

课堂上，教师面对学生稀奇古怪的想法或者错误的答案，恨不得钻进学生的脑子里看看他们到底是怎么想的。我们太需要思维“留痕”，应激励学生用文字、图形、算式甚至涂鸦的方式表达内心的想法，让思维可视，从中“看见”学生真实的学习心理和思考轨迹，为下一步的教学提供依据。也就是说，把有意义的学习痕迹提升为学习的证据，基于证据让学习历程成为真实、透明的现场。

在哪里留痕？黑板是学生学习的自留地。例如，《一一列举策略》一课的板书（见图1），除了三行文字，其他都是学生的手笔，圈圈画画，很有儿童特点，也很有逻辑，真实地描绘出了学生数学学习的历程。

在哪里留痕？“思考单”是学生个性化思维尽情绽放的小舞台。例如，“计算小数乘小数”的一份“思考单”（见图2），学生先把小数点“扔进了垃圾桶”，又在文字叙述中疏通了算理，明确了算法。

此外，学生在草稿纸上的信手涂鸦也是一种自然的留痕，可以开发和利用。

（二）精进三个方面，在深刻的历程中实现学习进阶

要想学会学习，光有真实的历程是远远不够的，还需要经历深刻的学习历程，获得学习进阶。笔者认为，小学生数学学习的进阶需要以下三个方面整体联动。

1.起：精炼问题，撬动学习的支点。

“起”者，开端也。文章的开端或开宗明义，或设置悬念，要引人入境。一个好的数学问题应是撬动学生学习的支点，助其升腾情感与智能，开启一段有质量的学习历程。

例如，一位教师执教《角的分类和画角》，多次锤炼问题。第一次试教，问题是：“我们在二年级时就认识了角，角有哪些分类呢？”教师特别担心学生一上课就冒出“平角和周角”，试图按捺学生自由前进的态势，导致学习通道逼仄。第二次试教，问题改为：“二年级时，我们通过观察认识了这几类角。现在上四年级啦，我们需要更深入地认识这些角，进一步研究角的分类。你觉得直角、锐角和钝角分别是什么样的角？”让学生将答案写在学习单（见图3）上。这个问题的思考空间明显大多了，可是很多学生的文字表达凌乱含糊，没有出现教师特别需要的像“钝角>90°”这样的“半成品”素材。虽然教师最终还是引导学生从二年级的“观察与感知”进阶到“度量与抽象概括”，但总觉得还有进一步提升的空间。

直角锐角钝角我认为：的角是直角;

的角是锐角;

的角是钝角。

在知识获得的进程中，学生只有认识了直角和平角，知道它们分别等于90°和180°后，才能在此基础上对锐角和钝角进行定量刻画。再次执教，教师预设这样一个问题：“角是我们的好朋友，你能帮不同类的角设计数学名片吗？拿出活动角转一转、画一画、写一写。”让学生填写“角的名片”（见图4）。这个问题的思考空间更大，着力于“度量与抽象概括”，让不同水平的学生都能尽情展开数学思考。学生会发现：直角和平角都没有大小范围，它们就是90°和180°;锐角和钝角跟它们比，存在大小范围。学生还提出了“平角和周角之间有没有角了？叫什么名字？”的问题。教师鼓励学生课后继续制作新的名片，使学生的认知结构不断丰满、立体，且向外打开。

角的名片

名字：图像：大小范围：

2.承：推进任务，踩准进阶的“踏脚点”。

“承”者，承接也。古人云：“承要舂容。”舂容是指有力、从容，整句话的意思是文章的承接要有力，要能承上启下。数学课堂学习历程中的“承”，需要设计思考空间大、有适度挑战性的任务，踩准进阶的“踏脚点”。

学习进阶并不只是解决学生认知发展路径的问题，还需要明确学习者认知发展过程中用以“踏脚”的具体的点——这就是学习的“阶”。学习的“阶”是一个迭代的过程，基于学习的实际数据，而不只是基于知识的逻辑结构;是学生与知识之间主客体共同决定的结果。只有找到学生每一次进步的“踏脚点”，才能帮助学生获得更为深刻的认识。

比如，特级教师周卫东教学《认识周长》，设计了四阶任务，助力学生拾级而上，深刻认识周长，渐次实现了基础性目标和发展性目标。

第一阶——什么是周长？①举例说明。②辩论：角有周长吗？

第二阶——想办法测量。①测量课本封面、一片平平的树叶的周长。②反思：有什么不同？

第三阶——计算图5中各图形的周长。（单位：厘米）

第四階——在方格纸中画两个图形，使它们的周长相等，说说自己的发现。

3.转：经历曲折，寻找思路的“转折点”。

“转”者，变化也。“文似看山不喜平。”文章要有起伏变化，要跌宕有致而又万变不离其宗。学习历程也是如此。

特级教师贲友林说：“我从来都不知道今天的课会是什么样子？抽签抽到思路有错甚至完全不懂的学生，有什么关系！课堂是出错的地方。学习历程不可能也不应该一帆风顺。”特级教师张齐华的课堂上，学生经历思维的探险，摸爬滚打，在曲折的学习历程中向真理逼近。教师要放手让学生走一走崎岖路，爬一爬思维坡，从而促进自我反思，寻找思路的“转折点”，实现学习进阶。

有这样一道题：

如图6所示，有两块草坪，草坪的中间都有一条小路。这两块草坪中，草皮的面积分别是多少？

解决这道题，可谓“步步有戏”。按左图算得非常顺利;按右图算得也很快：58×20-26×5=1030（平方米）。忽然有一个学生面露狐疑，教师请他暂时不要说，到黑板上打一个叉。大家愣住了：原来这个算式是错的，右图斜的边不一定是26米！有学生不服气：两幅图应该一样大。通过测量发现右图斜的边比左图长一点点，于是全班认定右图缺条件，不好做。教师追问：“如果右图斜的边和左图一样长，哪个阴影面积大一点？”有学生准备计算，被其他学生打断：直接利用空白部分底和高的关系来判断更简便。教师再追问：“要想使两幅图的阴影面积相等，右图斜的边怎么调整？”“20米！”全班激动地喊。教师不动声色。有的学生眼尖：“又错了！斜的边不可能等于这个平行四边形的高。”最后，大家发表“反思录”。有学生说：“学数学要动脑筋，看起来像，却不一定是真的;变来变去，要始终抓住不变的公式和不变的关系。”

（三）涵养学科精神，在完整的历程中走向长远发展

学习的历程除了必须“真实”、必须“深刻”，还需要“完整”。完整的历程包括学科知识结构的完整建构、知识技能和思想方法的完整观照、课堂教学与生活世界的完整融通。

1.经历“织网”：知识结构的完整建构。

数学讲究结构。学生在数学学习过程中，不是把孤立的、静止的、碎片化的知识一个劲儿地往箩筐里装，而要看到知识之间的彼此关联，经历知识结构化的过程。

例如，一节单元复习课，教师只在黑板上写下“分数的基本性质”，便让学生小组讨论，如何向外打开，尝试织网。经过师生共同梳理，最终形成板书（见图7）。一幅板书，梳理了四年级到五年级关于“性质”的完整的学习历程，有助于学生建立完整的知识结构。

织网的过程还体现为学生个体与学习同伴之间的联结，比如师生互动、生生互动、合作交流等。还有一种隐秘的联结是学生与自我的联结，通过“我会倾听”“我要表达”“我有质疑”“我回头看”“我为什么错了”等积极的自我暗示开展行动与反思。

2.经历“播种”：知识技能和思想方法的完整观照。

数学思想方法是数学的灵魂，它往往潜藏在高度凝练的数学知识背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。教师应该让学生经历体验、分析、抽象、概括的过程，感悟到数学知识背后蕴含的数学思想方法。

例如，教学《一一间隔》，学生充分经历用圆片和小棒操作以及自己创造一一间隔排列的活动，自主发现了规律。黑板上贴满了琳琅满目的素材，图8教师依次撤掉，只留下两行，用小棒和圆片呈现出一个高度简洁的模型（见图8）。学生的印象特别深刻，以后无论遇到多么复杂的情境，都能清晰地调用这个模型。

数学思想方法的种子还会在学习历程中日渐茁壮。有一类题很有意思，“行走”在低、中、高年级。在二年级是“找规律填数：2、4、8、16、（32）、（64）、（128）”;在三年级是“把一根彩带对折一次，平均分成几小段？对折2次、3次、4次……呢？有什么发现”;在五年级是“计算12+14+18+116+132+164+1128”。二年级重在培养数感;三年级重在经历由具体到抽象的概括，渗透模型思想;五年级则是感受转化、数形结合的思想。长期积淀数学思想，养成理性精神是支持学生学会学习、长远发展的中坚力量。

3.经历“搭桥”：课堂教学与生活世界的完整融通。

笔者的学生小林画了一幅图——《我的数学学习经验》。在她的学习经验“金字塔”里，“刷题”“考试”“测验”成为主体。“金字塔”顶端的“用上所学知识！加油！”和学生的距离似乎很远。这幅图在提醒我们，数学学习不能把学生框缚在应试的闭环中。

今天的课堂要为学生明天的发展做准备。高品质的课堂学习历程不会因为下课铃声而终止，它会让学生充满无限的想象。它就像桥的一端，向着学生的生活世界完全打开，向着未来无限延伸。学生在数学课堂与生活世界之间自由穿梭，既有数学“量的累积”，也有数学“质的飞跃”;既有共性的“一般规则”，也有个性的“独特创造”;既有生活世界的源头活水，也有生活世界的创造应用……

我们衷心地希望，每一个学生都能在真实、深刻、完整的学习历程中充分感受到数学的思维价值、应用价值、审美价值和文化价值，学会学习，并走向长远的发展。

参考文献：

[1] 金一民.开发“过程”的教育力[J].人民教育，2020（1）.

[2] 周卫东.数学思想：必备品格的精髓[J].河北教育（教学版），2017（12）.

[3] 翟小铭，郭玉英，李敏.构建学习进阶：本质问题与教学实践策略[J].教育科学，2015（2）.

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