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标题 导数在f(x)±f(-x)=y(x)型函数中的应用
范文

    李敏 孙威

    

    

    【摘要】本文利用导数这一工具,对任意抽象的可导函数f(x)构造出的形如,f(x)±f(-x)=y(x)函数进行研究,并通过例题讨论与之相关函数的不等式问题.

    【关键词】奇函数;偶函数;单调性

    一、引言、定义与引理

    奇(偶)函数是具有特殊性质的一类重要函数,单调性是也是研究函数性态的重要内容之一.将函数的奇(偶)性以及单调性相结合,对研究某些函数或者一些不等式问题会起到事半功倍的效果.尤其是f(x)±f(-x)=y(x)型函数,其中函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导函数.因为函数f(x)的抽象性使得问题难度加大,在此借助导数讨论相应函数性态(如单调性,奇偶性)往往会简单易于求解.

    定义1[1] 设函数f(x)定义在区间I上,如果任意x∈I都有f(-x)=-f(x)(或f(x)),

    则称函数f(x)为区间I上奇函数(或偶函数).

    引理1[1] 如果函数f(x)在闭区间I上可导,且满足任意x∈I都有f′(x)>0(或<0),

    则函数f(x)为区间I上单调增加函数(或单调减少函数).

    二、f(x)±f(-x)=y(x)型函数问题讨论

    例1 设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上存在导函数,且满足f(x)+f(-x)=2x2,当x∈(-∞,0]时有f′(x)+1<2x.如果f(α+3)-f(-α)≤4α+6,证明α≥-3 2.

    解 这是含有参数的抽象函数及相关不等式问题,题中出现函数和导函数首先会想到联系函数、导数的桥梁“中值定理”,但是所给区间不是有限闭区间,所以此法未必可行.于是可以考虑与导数密切相关的函数性态—单调性等进行讨论.具体如下:

    由于f′(x)+1<2x,x∈(-∞,0]即有

    (f(x)-x2+x)′=f′(x)-2x+1<0,x∈(-∞,0].

    因此,设g(x)=f(x)-x2+x,根据f(x)+f(-x)=2x2,x∈(-∞,+∞),则有

    0=f(x)+f(-x)-2x2+x-x

    =[f(x)-x2+x]+[f(-x)-(-x)2+(-x)]

    =g(x)+g(-x),

    由此知g(-x)=-g(x),x∈(-∞,+∞),由定义1即得函数g(x)在(-∞,+∞)上的奇函数.结合前面讨论知g′(x)=(f(x)-x2+x)′=f′(x)-2x+1<0,x∈(-∞,0],由引理1又可知函数g(x)在(-∞,+∞)上是单调减少函数.

    根据已知条件和函数g(x)的定义可有

    4α+6≥f(α+3)-f(-α)

    =[g(α+3)+(α+3)2-(α+3)]-[g(-α)+(-α)2-(-α)]

    =g(α+3)-g(-α)+4α+6.

    上式等价于g(α+3)≤g(-α),再注意到函数g(x)在(-∞,+∞)上是单调减少函数,所以成立α+3≥-α,也就是参数α满足α≥-3 2.

    证明完毕.上述证明巧妙构造出函数,并利用其导数判定单调性使问题得证.

    例2 设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上存在导函数,且满足f(x)-f(-x)=2x3,当x∈[0,+∞)时有f′(x)>3x2.如果f(β)-f(β-1)>3β2-3β+1,证明β>1 2.

    解 类似例1,该题是含有参数的抽象函数及相关不等式问题,所以考虑借助导数判定单调性进行讨论.具体如下:

    由于f′(x)>3x2,x∈[0,+∞)即有

    (f(x)-x3)′=f′(x)-3x2>0,x∈[0,+∞).

    因此,设g(x)=f(x)-x3,根据f(x)-f(-x)=2x3,x∈(-∞,+∞),则有

    0=f(x)-f(-x)-2x3

    =[f(x)-x3]-[f(-x)-(-x)3]

    =g(x)-g(-x),

    由此知g(-x)=g(x),x∈(-∞,+∞),由定义1即得函数g(x)在(-∞,+∞)上的偶函数.结合前面讨论知g′(x)=(f(x)-x3)′=f′(x)-3x2>0,x∈[0,+∞),由引理1可知函数g(x)在[0,+∞)上是单调增加函数,函数g(x)在x∈(-∞,0]上是单调减少函数.

    根据已知条件和函数g(x)的定义可有

    3β2-3β+1

    =[g(β)+β3]-[g(β-1)+(β-1)3]

    =g(β)-g(β-1)+3β2-3β+1.

    上式等价于g(β-1)≤g(β).

    当0≤β-1<β即β≥1时,由函数g(x)在[0,+∞)上单调增加知g(β-1)≤g(β);

    当β-1<0≤β时,由函数g(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,且函数g(x)在(-∞,0]上单调减少知,若g(-β)=g(β)≥g(β-1),则-β≤β-1,即β≥1 2;

    当β-1<β≤0时,由g(x)在(-∞,0]上单调减少,必有g(β-1)>g(β)矛盾.

    综上所述,如果g(β-1)≤g(β),则参数β必须满足β≥1 2.

    结论证毕.以上巧妙构造出函数,借助导数判定单调性使问题得证.

    【参考文献】

    [1]劉玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.

    [2]毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社,2003.

    [3]刘三阳,于力,李广民.数学分析选讲[M].北京:科学出版社有限责任公司,2007.

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更新时间:2025/3/10 15:19:53