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矩阵的秩的三种常见的应用

范文

谢毅徐聪

【摘要】分别从向量组的定性、求线性方程组的解的结构以及判定矩阵行（列）空间的基和维数三方面给出矩阵的秩的三种常见的应用.

【关键词】矩阵的秩;向量组;线性方程组的解的结构;矩阵的行（列）空间;应用.

一、引言

矩阵的秩是矩阵的核心内容，是动态研究矩阵的根本所在.矩阵的秩应用性十分广泛，尤其是在判定向量组的线性相关性，求解方程组的解的结构以及判定矩阵行（列）空间的基和维数上的应用更为常见，本文给出矩阵的秩在这三方面的应用.

定理1 向量组a1，a2，…，am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A =（a1，a2，…，am）的秩小于向量的个数m;向量组线性无关的充要条件是R（A ）=m.

定义1 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.

定理2 设m×n矩阵A 的秩R（A ）=r，则n元齐次线性方程组A x=0的解集S的秩RS=n-r.

性质1 设x= SymbolhA@ 是方程非齐次线性方程组的解，x= SymbolxA@ 是该非齐次线性方程组生成的齐次线性方程组的解，则x=SymbolxA@ + SymbolhA@ 仍是该非齐次线性方程组的解.

注非齐次方程组的通解=对应的其次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解.

定义2 矩阵A 的列向量组的秩称为A 的列秩;A 的行向量组的秩称为A 的行秩.矩阵A 的列秩等于A 的列空间的维数，A 的行秩等于A 的行空间的维数.

二、在判定向量组的线性相關性上的应用

例1 讨论下列向量组的线性相关性.

矩阵B 的第1，2，3列的列向量的秩是3，所以矩阵A 的列空间的基是由矩阵A 的第1，2，3列的列向量构成.R（A ）=3，所以矩阵A 的行空间的维数等于列空间的维数3.

五、结语

作为矩阵的核心内容，矩阵的秩广泛应用于行列式、向量组、线性方程组、特征值等知识点中，以判定、求解和证明为主要形式出现在其中，是线性代数知识体系的枢纽.把握好矩阵的秩与其他知识点交叉的定理推论是其运用的关键.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.工程数学·线性代数：第6版[M].北京：高等教育出版社，2014：97-103，88.

[2]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：清华大学出版社，2010：109-114.

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