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构造法在高中数学解题中的应用

范文

彭妍鑫刘君

【摘要】构造法是一种常见的解题方法，区别于一般的逻辑方法，需要一步一步求解数学条件，最终推导出结论，是一种具备试探性的解题思维.若能合理巧用构造法，可以简驭繁、变难为易，简捷高效.本文主要对高中数学解题中应用构造法解题进行分析.

【关键词】高中数学;构造法;解题

所谓构造法简而言之是指根据题目中条件的特征进行类比联想，进而构造出满足条件及结论的数学模型，在解题的过程中主要是将“未知”量转变为“已知”量，帮助我们寻找到问题间的内在关联，进而帮助学生快速解决问题.历史上不少数学家都曾经采用构造法解决数学难题，发展至今，构造法可成为高中数学解题的重要方法之一.在高中数学解题中最为常用的构造法有：构造函数、图形、数列、代数式、向量等，下面对其中五种应用进行介绍.

一、构造函数

理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学從常量到变量的这个认识上的飞跃.很多数学命题烦冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格.

例1 已知定义在〖R 上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x<0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）

A.1? ? B.3? ? C.5? ? D.1或3

解析可构造函数g（x）=x2f（x），利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论.

解令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，

∵当x<0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）

∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]>x2>0，

∴当x<0时，g（x）为增函数，则g（x）

∴f（x）<0.

又∵函数f（x）是定义在R 上的奇函数，

∴当x>0时，f（x）>0，∴f（x）在R 上只有一个零点为x=0，故选A.

二、构造图形

一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍.

例2 如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC=1，AB=AC=AD=2，求BD的长.

解析求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt△BDF.

解如图2所示，以A为圆心，AB为半径构造⊙A，由于AB=AC=AD=2，则C，D在⊙A上，延长BA交⊙A于F，连接DF，得Rt△BDF.由于AB∥DC，BC=1，所以FD=BC=1，又FB=2AB=4，所以BD=BF2-DF2=15.

三、构造数列

在高中数列习题中，我们常见的是给出已知数列的首项、公差或公比，来求通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式，要求出数列的通项公式.而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式.

例3 正数数列{an}中，若a1=5，a2n+1=a2n-4（n∈N ），求an.

解设bn=a2n，则bn+1-bn=-4，

数列{bn}是等差数列，公差是-4，b1=a21=25，

∴bn=25+（n-1）·（-4）=29-4n，

即a2n=29-4n，

∴an=29-4n（1≤n≤7，n∈N ）.

四、构造代数式

代数式是数学学习的重要组成部分之一，代数式的许多性质和应用可以帮助我们快速解决问题.

例4 当x=3+1时，求y=1 2x3-x2-x+1的值.

解由题意得x=3+1，所以x-1=3，

构造x-1的因式y=1 2x3-x2-x+1

=1 2（x3-2x2-2x+2）=1 2[x（x-1）2-3x+2]

=1 2（3x-3x+2）=1.

五、构造向量

向量的引入对解决代数、三角、几何中的很多数学问题都有帮助.

例5 已知a，b，c是正数，求函数y=x2+a2+（c-x）2+b2的最小值.

解构造向量a =（x，a），b =（c-x，b），

则原函数可化为y=|a |+|b |≥|a +b |

=（x+c-x）2+（a+b）2=c2+（a+b）2，

∴ymin=c2+（a+b）2.

综上，构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件.此外构造法也并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对同一道题既能用几种构造法来解，也可以用其他方法来解，因此，我们需要在数学学习中注重此方法的应用，自主总结学习问题，从而不断提升学习成绩.

【参考文献】

[1]张洁.高中数学解题教学中如何巧用构造法[J]考试周刊，2014（29）：66.

[2]罗文静.探析高中数学解题中运用构造法的措施[J]中学数学，2016（7）：61-62.

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