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浅谈线段与角的类比

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摘要：类比不仅是一种从特殊到一般的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的有效方法。文章探究了关于线段和角的知识在应用（或方法）上的类比，通过类比，帮助学生更清晰地认识两个相似体系间的内在联系，降低问题的解决难度，构建系统的知识结构，优化知识网络，提高学生的迁移能力，逐渐形成发散思维能力和创新意识。

关键词：类比;线段;角;数学核心素养

类比的思想方法是最通俗易懂且最便于应用的数学思想方法之一，开普勒曾经说过“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在数学中是最不可忽视的”。探讨类比思想方法对教学与教研都具有很高的价值，从而引起许多学者对类比思想方法的研究热情。

在文献中，刘建英从线段与角在定义、画法、平分以及线段与角的计数等方面进行了类比;2015年，仇日锋在文献中说明了数学思想在解决线段和角问题过程中的重要作用。同年11月，赵国瑞在文献中将线段和角进行了类比推理与计算。2016年6月，陈伟华在文献中以“线段与角”复习课为例，从类比的角度来关注、辨析线段与角的复习课，取得了良好的教学效果。2016年7月，在文献中，祁红平从分类讨论、计数、特殊位置、线线相交、运动等五个方面将线段与角进行了类比。

一、线段与角的类比

（一）线段和角的计数

线段：观察图形：一条直线上有n个点，则这条直线上共有n（n-1）2条线段。

角：观察图形：如图所示，若从点O出发的n条射线，此时平面内共有n（n-1）2个角。

（二）有图情况下的线段与角的和差问题

线段：已知，如图，点A，B，C在一条直线上，线段AB=60，BC=40，则线段AC=AB+BC=100。

角：已知，如图，∠AOB=60°，∠BOC=40°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°。

（三）分类讨论情况下，线段与角的和差问题

线段：已知，点A，B，C在一条直线上，线段AB=60，BC=40，则线段AC=20或100。

角：已知，∠AOB=60°，∠BOC=40°，则∠AOC=20°或100°。

二、双中点，双角平分线问题

线段：已知，点A，B，C在一条直线上（A在B左侧），M是AC中点，N是BC中点。

（1）若线段AB=60，BC=40，求线段MN的长。

（2）若线段AB=a，BC=b（b

解：（1）∵M，N分别是AC，BC中点

∴MC=12AC，NC=12BC

①当点C在点B左侧时，如图：

MN=MC+NC=12AC+12BC=12（AC+BC）=12AB

②當点C在点B右侧时，如图：

MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12AB

综上所述，MN=12AB

当AB=60时，MN=12AB=30。

（2）由（1）知分两种情况进行讨论，类似的可以得到结论MN=12AB=12a。

角：已知，平面内，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（1）若∠AOB=60°，∠BOC=40°，求∠MON的度数;

（2）若∠AOB=α，∠BOC=β，（其中α+β<180°，α>β），求∠MON的度数。（用含α，β的代数式表示）

解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC

①当OC与OA在OB同侧时，如图：

∴∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB

②当OC与OA在OB异侧时，如图：

∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12∠AOC-12∠BOC=12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB

综上所述，∠MON=12∠AOB

当∠AOB=60°时，∠MON=12∠AOB=30°。

（2）由（1）知分两种情况进行讨论，类似的可以得到结论∠MON=12∠AOB=12α。

由此，我们得到一个结论：

线段：若点A，B，C在一条直线上，M是AC中点，N是BC中点，则MN=12AB。

角：若平面内，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON=12∠AOB。（最大角不超过180°）

有了这个结论，有些题做起来非常方便：

线段：点B是线段AC上一点，点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，点P是线段AN的中点，点Q是线段AM的中点，

则MN∶PQ∶BC=??? 。

分析：因为点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，所以MN=12BC;因为点P是线段AN的中点，点Q是线段AM的中点，所以PQ=12MN=14BC;所以MN∶PQ∶BC=12BC∶14BC∶BC=2∶1∶4。

角也有类似结论。

三、结论推广

如图，C是线段AB上一点，D为线段BC上一点，CD=（n-1）BD，E为线段AC上一点，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的长。（用含a的代数式表示）

解：分析得到DE=EC+DC=n-1nAC+n-1nBC=n-1n（AC+BC）=n-1nAB=n-1na

如图，C是线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD=（n-1）BD，E为线段AC上一点，CE=（n-1）AE。若AB=a，求DE的长。（用含a的代数式表示）。

解：由分析得到

DE=EC-DC=n-1nAC-n-1nBC=n-1n（AC-BC）=n-1nAB=n-1na

角也有类似结论。

四、结论与展望

文章首先对线段与角的概念、计数以及计算问题等几方面进行了类比总结，在“双中点”“双角平分线”的基础之上提出了一个更为普遍的结论，为今后在解题过程中总结经验与结论提供了较好的基石。今后在学习过程中要学会触类旁通，举一反三，拓宽知识面。

《国家十二五中长期教育改革和发展规划纲要》规定：我国教育改革应加强对人的全面发展的重视，培养更多社会需要的实用型和复合型人才，这才是衡量国家教育质量水平的重要依据。因此，努力提高学生的思维能力和科学文化素养至关重要，我们在日常教学中要自然渗透类比推理的思想方法，帮助提高学生的数学思维，提高数学核心素养，帮助学生的创造力在一次次的类比成功中得到升华。

参考文献：

[1]刘建英.线段与角的相近性[J].数学大世界：名师导学，2013（11）：8-9.

[2]赵国瑞.用类比的方法学习线段与角[J].数学：初中生辅导，2015（3）：44-48.

[3]仇日锋.线段与角相关问题中的数学思想应用[J].中学数学参考，2015（239）：36-37.

[4]祁红平.线与角的类比[J].初中生数学，2016（7）：2-3.

[5]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

作者简介：张芳，四川省成都市，成都外国语学校。

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