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分类讨论思想在高中数学教学中的运用

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王峰

【摘要】数学作为高中阶段的一门主要必修课程，在思维锻炼和未来研究过程中具有至关重要的作用.在日常的学习过程中，教师会运用多种类型的数学思想潜移默化地影响着学生的思维，从而培养学生的数学综合能力.分类讨论思想就是高中数学思想中的一种.本文主要討论分类讨论思想在高中数学教学中的有效运用.

【关键词】高中数学;分类讨论思想;有效运用

自21世纪以来，我国关于数学问题解决思想的研究逐渐兴起，由于起步较晚，虽然经过一段时间的实践研究，取得了一些成果，但是总体发展速度相对缓慢.分类讨论思想作为其中比较重要的一种思想，关于它的研究到目前为止也没有形成相应的系统.在高中数学中，学生应用分类讨论思想来解决有关问题是失分的常项.因此，笔者在现有研究的基础上，结合笔者的教学经验和对分类讨论思想的理解，从三个方面来阐述分类讨论思想在高中数学教学中的有效运用.

一、分类讨论思想的含义

从高中数学学科的性质特点来讲，解题的过程中会经常运用到分类讨论思想.我们知道，高中数学中的某些题目常常不止一个正确答案，那么在解答此类题目时，就不能使用常规的解题模式，而是需要在题目相关条件的规定下进行子区域的划分，然后再对这些子区域进行求解.这一解题过程运用到的思想就是分类讨论思想.

分类讨论思想在实际的应用过程中，一般坚持由大到小、将整体划分为部分再将部分进行组合的原则.在数学范畴中，分类讨论思想分类的依据是先将不同的知识点进行划分，然后再分析它们之间的相同点，从而进行归类，这样有助于帮助学生更好地找到数学问题之间的联系.

二、分类讨论思想在高中数学课堂教学中的合理运用

（一）从教材出发梳理分类讨论内容

学生在解答数学题目的过程中运用分类讨论思想属于高层次的策略.从高中数学知识体系来分析，分类讨论思想以一条主线的形式贯穿在整个高中数学知识结构中.高中数学教材中的分类讨论思想的呈现比较隐蔽，需要教师仔细研读教材，理清知识的编排脉络，高屋建瓴，深入挖掘，从而有计划地渗透给学生.

例如，在“平面向量”这一章中，运用分类讨论思想具有突出的指导作用，可以让各个知识点的脉络更加清晰，而学生在学习过程中也能够化难为易.例如，向量的表示方法有几何法、字母法、坐标法等，两个向量之间的关系有共线和不共线，其中，共线又有方向相同和方向相反之分.在学习向量的运算过程中，据笔者的观察，学生在集合运算上并没有太大的问题，而在坐标运算中很多学生算出来的结果经常是实数，在数量积的运算中，又有不少学生将结果算成了向量.因此，教师要运用分类讨论思想为学生讲解向量运算的相关知识.例如，向量的运算包括线性运算和数量积运算，其中，线性运算又包括加法运算、减法运算和数乘运算，它们的计算结果都是向量;数量积运算的结果为实数（可正可负）.相信有了这样的思路，学生在进行向量的运算时，出错率会大大下降.

再如，函数部分的教学也蕴含着分类讨论思想，主要体现为以下方面：一是对指数函数、对数函数的底数（a）取值范围的分类讨论.指数函数和对数函数均为单调函数，且互为反函数，当底数a>1时，它们均为增函数;当底数0

（二）在课堂教学设计中巧妙渗透

笔者曾对所带班级学生进行了访谈调查，了解到他们在分析某一问题时常常一开始没有头绪，不知道该从哪里入手去分类讨论，即找不到分类的依据.这与教师在平时的教学设计中没有注意渗透分类讨论思想不无关系.课堂教学前的准备工作就是教师围绕三维目标和核心素养进行教学设计.为了让课堂教学更加精彩，教学效果更加明显，教师在进行整堂课的教学设计过程中应该有意识地运用分类讨论思想，以加深学生对基础知识和技能的理解，培养学生的逻辑思维能力.

具体来说，高中数学教师在教学设计过程中要合理地体现分类讨论思想，这需要教师要格外注重以下三个方面.首先，教师应该主动提升自身的修养.在运用分类讨论思想之前，教师应该自主学习并深入研究一些现有的关于数学思想的论著，掌握其有效的运用方法，做到上课前“胸中有丘壑”.其次，教师在制订教学目标时应该有意识地渗透分类讨论思想，而不是一味地重视知识的传授和技能的训练，要让学生亲历知识的形成过程，体会其中的分类讨论思想.最后，上课前，教师要认真研读教材，挖掘知识中的隐性数学思想，并恰当地体现在数学教学设计中.

例如，在教学“两条直线的平行与垂直”时，课前几分钟，笔者先让学生思考之前学过的几种直线方程的类型，并分析每种类型存在的不足.接着给出一般式直线方程：Ax+By+c=0，要求学生说出其斜率和截距，由此巩固学生头脑中关于直线方程的认知系统，并巧妙引入新课，要求学生独立思考：当直线方程为斜截式时，如何判定两条直线的位置关系？在笔者的思路点拨下，学生们分别从l1∥l2k1=k2和l1⊥l2k1·k2=-1两种情况进行分析.随后，笔者与学生一同探究一般式直线方程的位置关系：已知两条直线A1x+B1y+C1=0，

A2x+B2y+C2=0，方程组的解与方程所表示的两条直线有什么关系？

为避免学生漏掉其中可能存在的关系，笔者借助多媒体为他们演示了两条直线三种位置关系（相交、平行、重合）的动态关系，加强了学生的形象思维，使他们不会漏掉两条直线重合的特殊情况，从而得出结论：

解方程组唯一解无穷多解无解l1l2相交，l1l2重合，

l1l2平行.

（三）在习题的归类与练习中渗透

有些数学运算的实施需要具备一定的条件，教师可以运用分类讨论思想帮助学生突破这些限制性条件，如集合中子集的求法，偶次方根的化简，指数、对数问题中底数的讨論，等等.

例如，写出集合{a，b}的所有子集.考虑到高一学生首次接触集合概念，本身没有分类意识，教师可以借此机会渗透分类讨论思想.针对此题，分类的标准可以确定为子集中的元素个数.分类如下：含有0个元素（不含元素）：;含有1个元素：{a}，{b};（3）含有2个元素：{a，b}.因此，{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}.

还有一些题目因不确定相对位置而需要进行分类讨论.例如，写出终边在直线y=x上的角的集合S.由于角的终边是一条射线，因此不能一概而论，必须将其分为两类进行讨论：与45°终边相同的角和与225°终边相同的角.之后再让学生思考这两类集合是否可以合并，并运用一切合并的技巧.那么，在指导学生解题时，教师可以引导学生写出：与45°终边相同的角的集合{α|α=45°+k·360°，k∈Z}，与225°终边相同的角的集合{α|α=225°+k·360°，k∈Z}，由此，所求集合S={α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+k·180°，k∈Z}

再如，判断函数的奇偶性、单调性.（1）判断函数f（x）=x2，x∈（k，2）的奇偶性.教学时，教师应引导学生从定义域是否关于原点对称进行思考，并将k分为k=-2和k≠-2这两类进行讨论.当k=-2时，定义域关于原点对称，可知f（x）为偶函数.当k<2且k≠-2时，定义域不关于原点对称，f（x）是非奇非偶函数.（2）求函数f（x）=x2+1在区间[-2，a]上的最小值.由于区间和对称轴位置不同，函数单调性不同，对应的函数最值也不同，需要对a的取值范围进行分类讨论.当-2

三、高中生在学习过程中掌握分类讨论思想的建议

（一）自觉克服畏难心理

从高一数学课程开始，学生就需要对集合、不等式、函数等内容的习题进行分类讨论，这对刚升入高中的学生来说，势必增加一些学习难度.如果教师从一开始就没有注意到学生的这种畏难心理，那么久而久之，学生的问题就会越积越多，当以后解决更加复杂的分类问题时，学生很可能会“谈分色变”，逐渐对数学课丧失信心.因此，高中数学教师应该帮助学生克服心理障碍，减少他们对分类讨论的畏惧感，让他们能够通过正确的方法去改变.同时，学生在课下应勤加练习，由量变引发质变，这样定能产生好的效果，并能在之后解决分类讨论问题时得心应手.

（二）优化解题思路，回避或简化分类讨论

尽管分类讨论思想是高中数学学习过程中经常使用到的一种方法，也是高考常考的热点，在平时的课堂教学中，教师通常会让学生通过各个击破的方式去解决问题.然而从整体来看，将所有的情况想到并进行讨论，必然是烦琐且复杂的.如果学生能够在审题过程中深入挖掘题目中的隐藏条件，掌握回避或简化分类讨论的方法，那么就会节省很大一部分解题时间，还能优化分类讨论的策略，提升解题效率.例如，求经过-32，52与3，2两点的椭圆标准方程时，一般的解法就是要分焦点在x，y轴两类进行讨论，但是如果设椭圆方程为Ax2+By2=1（A>0，B>0，A≠B）就能避免分类讨论.再如，研究f（x）=x+ax（a>0）的单调性时，不需要将x>0和x<0时的函数单调性都进行详细讨论，可以先讨论x>0时的情况，而x<0时的情况可根据奇函数图像关于原点对称区间上单调性一致这一特点得出结论.

四、结束语

分类讨论思想在高中数学教学中的运用范围非常广泛，如在集合、函数、不等式、数列、排列组合以及解析几何中均能使用.但是由于知识的性质和学习方式，数学教师还需要在方法上进行优化，巧妙地引导学生自己学会运用分类讨论思想解决具体的数学问题，促使学生逐渐领悟到数学问题的逻辑严密性.

【参考文献】

[1]虎志忠.浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].课程教育研究，2019（16）：225-226.

[2]刘芬.在课堂教学中渗透数学思想探索与实践[J].中国现代教育装备，2018（20）：35-37.

[3]彭恩.分类讨论思想在高中数学中的研究与应用[D].信阳：信阳师范学院，2017.

[4]郭敏.苏教版高中必修教材中数学思想方法教学研究[D].南京：南京师范大学，2014.

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