| 标题 | 注重宽度轻于深度基础常规考查本质 |
| 范文 | 【摘要】2018年高考数学北京理科卷和文科卷都有“注重宽度、轻于深度、基础常规、考查本质”的鲜明特色.文章给出了部分试题的别解和建议，及若干高考复习备考建议. 【关键词】2018年；高考；数学；北京卷；宽度；基础；本质；备考 1试卷的最大特色是“注重宽度、轻于深度” 2018年的全国普通高考已落下帷幕，笔者在第一时间认真钻研了2018年高考数学北京理科卷和文科卷，发现它们的最大特色是“注重宽度、轻于深度”. 1.1为2020年的高考数学文理合卷平稳过渡 文科第1-3、8题与理科对应的题（题号也相同）均是同一道题，文科第5题与理科第4题、文科第6题与理科第5题也完全相同，文科第13题与理科第12题相同（分值是35），占总题数20的35.0%（占总分数150的23.3%）. 文科第17题与理科第17题（题干一致，概率统计），文科第4题与理科第6题（充分、必要条件），文科第11题与理科第13题（逻辑，举反例），文科第19题与理科第18题（导数）均是相似度很大的姊妹题（分值是文科36，理科35），占总题数20的20.0%（约占总分数的24.0%）. 除理科第20题外，其余的文科试题与理科试题差异也均不大.因为到2020年全国各省（市、自治区）的高考数学试卷都会文理合卷，所以2018，2019这两年的高考数学北京卷会起到平稳过渡的作用. 1.2注重宽度 文科、理科第2题在复平面内，复数11-i的共轭复数对应的点位于（）. A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 文科第10題已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为. 第一道题考查了复数的运算（主要是除法）、共轭复数的概念及在复平面内复数对应的点，第二道题考查了特殊直线的方程、解方程组、特殊的两点间距离公式、抛物线的方程及焦点坐标.它们分别是选择题、填空题第2题，交汇的知识却不少.这说明试题有“注重宽度、轻于深度”的特点. 理科第11题设函数fx=cosωx-π6ω>0.若fx≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为[CD#3]. 解答本题的难点及切入点都是得出“题设即x=π4是fx的一个最大值点”——理解概念尤其重要. 1.3频繁考查逻辑 文科、理科第8题设集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2}，则（）. A.对任意实数a，2，1∈AB.对任意实数a，2，1A C.当且仅当a<0时，2，1AD.当且仅当a≤32时，2，1A 解法1D.由题设，可得 2，1∈A2-1≥12a+1>42-a≤2a>32 即当且仅当a>32时，2，1∈A；当且仅当a≤32时，2，1A. 所以选项A，B，C均错误，选项D正确. 解法2D.当a=0或a→- SymboleB@ 时，2，1A，由此可排除选项A，C.当a=0或a→+ SymboleB@ 时，2，1∈A，由此可排除选项B.所以选D. 文科第11题能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为 . 解1，0等等（答案不唯一）.由函数y=1x在（- SymboleB@ ，0），（0，+ SymboleB@ ）上均是减函数，可得所有答案是：不满足a>b>0或者是不满足0>a>b的实数a，b，也即满足a=0>b或a>b=0或a>0>b的实数a，b. 理科第13题能说明“若fx>f0对任意的x∈0，2都成立，则fx在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是. 解f（x）=sinx，f（x）=sin45x，f（x）=-cos2x，f（x）=0，x=03-x，0 （2）fx在0，2上不是增函数. 注文科、理科第8题考查“常用逻辑用语（命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词）及集合、线性规划知识”，题目重在宽度、轻于深度，是符合时代特征的一道好题. 文科第11题及理科第13题，还包括理科第16题第（3）问“证明：直线FG与平面BCD相交”，也都是考查逻辑知识，当然还考查了函数的单调性. 解答此类题目（举反例）的前提是透彻理解题意. 1.4考查数学文化 理科第4题即文科第5题是一道很好的数学文化高考题：难度不大但考查了考生的阅读理解能力（数学建模）及等比数列的通项公式，且体现了数学在音乐中的应用价值，还宣传、弘扬了中国古代取得的科学成就，国人当自豪且受到了极大的鞭策：吾辈当自强！ 2对部分试题的别解 理科第7题在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线x-my-2=0的距离.当θ，m变化时，d的最大值为（）. A.1B.2C.3D.4 图1 解C.如图1所示，当θ变化时，点Pcosθ，sinθ的轨迹是圆x2+y2=1；当m变化时，动直线x-my-2=0可表示坐标平面xOy上过定点A（2，0）且不是x轴的任一直线. 作OH⊥直线x-my-2=0于H，可得OH≤OA=2，得点O到直线x-my-2=0的距离OHmax=2，因而单位圆上的动点Pcosθ，sinθ到直线x-my-2=0的距离d的最大值为BA=3. 理科第14题已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），双曲线N：x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为[CD#3]；双曲线N的离心率为. 解3-1，2.可不妨设m>0，n>0.如图2所示，设椭圆M的左、右焦点分别是D，A；设双曲线N的两条渐近线y=nmx，y=-nmx与椭圆M的四个交点分别是B，C，E，F.得正六边形ABCDEF，∠AOB=60°，OA=OB. 可得nm=tan60°=3，所以双曲线N的离心率为m2+n2m2=1+nm2=2. 如图2所示，可不妨设OA=OB=2，进而可得点B（1，3）在椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，所以12a2+（3）2b2=1，a2=b2+22，因而1b2+4+3b2=1，b2=23， a2=b2+22=23+4=（3+1）2，a=3+1. 因此，椭圆M的离心率为2a=23+1=3-1. 下面再给出椭圆M的离心率的一种简洁求法： 图2 如图2所示，连结BD.在正六边形ABCDEF中，可不妨设OA=OB=BA=OD=1.在△OBD中，由余弦定理，可求得BD=3. 所以2a=BD+BA=3+1，因而椭圆M的离心率为2·12a=23+1=3-1. 文科第16题已知函数f（x）=sin2x+3sinxcosx. （1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间-π3，m上的最大值为32，求m的最小值. 解可得 f（x）=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-π6+12. （1）所以f（x）的最小正周期为T=2π2=π. （2）由x∈-π3，m，可得2x-π6∈-5π6，2m-π6. 题设“f（x）在区间-π3，m上的最大值为32”即“函数y=sint-5π6≤t≤2m-π6的最大值为1”，也即 2m-π6=π2+2kπ（k∈[WTHZ]Z[WTBX]）且m>-π3， m=π3+kπ（k∈[WTHZ]N[WTBX]）， 所以所求m的最小值是π3. 注笔者认为，官方（北京教育考试院）给出的第（2）问的参考答案不严谨： …… 要使得f（x）在-π3，m上的最大值为32，即sin2x-π6在-π3，m上的最大值为1， 所以2m-π6≥π2，即m≥π3. 所以m的最小值为π3. 因为得到的“2m-π6≥π2”即“m≥π3”只是“f（x）在[-π3，m] 上的最大值为32”的一个必要条件，所以还须验证“当m=π3时， f（x）在[-π3，m]上的最大值为32”. 理科第18题设函数fx=ax2-4a+1x+4a+3ex. （1）若曲线y=fx在点1，f1处的切线与x轴平行，求a； （2）若fx在x=2处取得极小值，求a的取值范围. 解可得f′x=ax2-2a+1x+2ex=ax-1x-2ex. （1）由题设，可得f′1=1-ae=0，a=1. 当a=1时，可得f1=3e≠0，说明切点1，f1不在x轴上，满足题设“曲线y=fx在点1，f1处的切线与x轴平行”，所以所求a的值是1. （2）若a>12，则当x∈12，2时，f′x<0；当x∈2，+ SymboleB@ 時，f′x>0.所以fx在x=2处取得极小值. 若a≤12，则当x∈0，2时，x–2<0，ax-1≤12x–1<0，所以f′x>0.得x=2不是fx的极小值点. 综上所述，可得所求a的取值范围是（12，+ SymboleB@ ）. 注本题第（1）问考查考生的严谨细致以及对概念“平行”的理解. 我们要注意“直线平行于x轴”与“直线垂直于y轴”的含义并不相同：前者不含x轴，而后者包含x轴.但这一点，并未引起重视.我们来看下面一道高考题及其解法： （2012年高考福建卷理科第20题）已知函数f（x）=ex+ax2-ex，a∈[WTHZ]R[WTBX]. （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （2）略. 第（1）问的参考答案：可得f′（x）=ex+2ax-e.由题设得f′（1）=2a=0，a=0，所以f′（x）=ex-e. 得f′（x）>0x>1，f′（x）<0x<1，所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）. 对参考答案的分析（1）f′（1）=0即a=0只是“切线平行于x轴”的必要条件，并不是充要条件，所以还须检验.而当a=0时，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））即（1，0）处的切线就是x轴，并不满足“平行于x轴”，所以所求的a不存在，即本题是一道错题（见文献[1]第164-166页）. 建议把题中的“平行于x轴”改为“垂直于y轴”（改动后原参考答案无误）. （2）解答本题第（2）问时，可能考生由题设“fx在x=2处取得极小值”首先想到的是由其必要条件“f′（2）=0”求出参数a的值，再由“导数值左负右正”对所求a的值给予验证.难道是如此简单？殊不知，f′（2）=0是恒成立的！以上解法是“先充分后必要”，当然也可对参数a进行分类讨论来求解. 实际上，这种类型的高考题可见： （2016年高考山东卷文科第20题）设fx=xlnx-ax2+2a-1x，a∈[WTHZ]R[WTBX]. （1）令gx=f′x，求gx的单调区间； （2）已知fx在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围. 理科第19题已知抛物线C：y2=2px经过点P1，2.过点Q0，1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. （1）求直线l的斜率的取值范围； （2）设O为原点，OM=λQO，QN=μQO，求证1λ+1μ为定值. 解（1）……可求得抛物线C的方程为y2=4x，可设直线l的方程为y=kx+1k≠0. 由y2=4x，y=kx+1，可得y=k·y24+1，即ky2-4y+4=0（k≠0）. 由Δ=（-4）2-4×k×4>0，解得k<0或0 所以直线l斜率的取值范围是- SymboleB@ ，-3∪-3，0∪0，1. （2）设Ax1，y1，Bx2，y2. 由（1）的解答，可得y1+y2=y1y2=4k. 可得直线PA的方程为y-2=y1-2x1-1（x-1）.令x=0后，可得点M的纵坐标为yM=-y1+2x1-1+2=2-y1y124-1+2=2-4y1+2. 同理，可求得点N的纵坐标为yN=2-4y2+2. 由QM=λQO，QN=μQO，可得λ=1-yM=2-y12+y1，μ=1-yN=2-y22+y2. 所以 1λ+1μ=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y24-2（y1+y2）+y1y2=8-2y1y24-2y1y2+y1y2=2. 得1λ+1μ为定值. 注（1）解答本题第（1）问时，务必仔细认真，要注意“因为直线PA，PB均与y轴相交，所以直线l不过点1，-2，从而k≠-3”.求取值范围的问题，所求得的范围不能多也不能少，这就要把题目中的条件（包括隐含条件）用干净用彻底，有时还需要检验. （2）解答本题第（2）问时，以上解法好：（ⅰ）有时用y的一元二次方程来求解，很简洁；（ⅱ）在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，通常是把点的坐标代入直线方程比如y=kx+m中，由点的横坐标就可以表示出该点的纵坐标，但在解决直线与抛物线相交的问题时，有时把点的坐标不代入直线方程而代入抛物线的方程比如y2=2px，得到x=y22p，因为是一个单项式y22p，往往可以减少运算量，详见文献[2]. 文科第20题已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； （2）若k=1，求AB的最大值； （3）设P-2，0，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q-74，14共线，求k. 注（1）本題第（2）问的一般结论是“定椭圆的平行弦中的最长者过该椭圆的中心”（见文献[1]第135-136页）. （2）在解答第（3）问中，求点C的坐标时，可用韦达定理中的两根之和来求解. 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.若用两根之积的话得到的等式是x1x3=-7x12-12x14x1+7，接下来需对 x1的值是否为0进行讨论. 解答第（3）问的方法与下面这道高考题第（2）问的解法实质相同： （2009年高考辽宁卷理科第20题即文科第22题）已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为（-1，0），（1，0）. （1）求椭圆C的方程； （2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值. 另外，用下面的定理1可简解理科第17（3）题（它与2017年高考浙江卷第8题如出一辙），用下面的定理2可简解理科第20题. 定理1二项分布ξ～B（1，p）就是两点分布，且E（ξ）=p，D（ξ）=p（1-p）；当p∈0，12时，E（ξ），D（ξ）的值均随p的增加而增加. 定理212[a+b-a-b]=mina，b（a，b∈[WTHZ]R[WTBX]）. 3几条建议 （1）建议把文科、理科第8题中的“A=x，yx-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2”改为“A=x，yx-y≥1ax+y>4x-ay≤2”. （2）建议把文科第17题及理科第17题中的两处“电影公司”均改为“某电影公司”；把理科第17题中的“第一类、第二类、第三类、第四类、第五类、第六类”分别改为“第1类、第2类、第3类、第4类、第5类、第6类”，否则第（3）问中的“第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）”与题设不符. 4高考复习备考建议 关于高三复习备考，笔者在文献中已阐述了一些有益的建议；关于数学教学，笔者在其他文献中也作了较为详尽的论述.读者研读它们后（特别是笔者近期发表的文献[3]），可能会有所裨益.下面再强调四点： （1）高一、高二的新课教学务必扎实认真，否则造成的失误在高三复习中无法弥补.比如解答文科第7题所涉及的三角函数线、解答理科第16（3）题所涉及的线面位置关系，这些在高三复习时往往很少涉及. （2）培养学生严谨细致的答题习惯，比如考生解答文科第14题第二空、第16题、第18题及理科第18（1）题及第19（1）题时，极易造成扣分现象. 规范表达不仅仅是态度，更多的是能力和实力，老师在教学中要有针对性的培养和训练. （3）要把培养学生的核心素养贯穿教学的始终，包括重视阅读、实践操作，讲解新知识（理解概念、证明定理、推导公式）时要注意知识的发生发展过程，切不可轻过程重结果再用大量的刷题来弥补教学的严重缺失. （4）尽可能地培养学生较宽知识面（包括了解科技前沿），深度可以降低一些.因为这是未来（特别是近几年）高考命题的趋势. 参考文献 [1]甘志国.数学高考参考[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2016. [2]甘志国.平面解析几何[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014：122-125. [3]甘志国.从解题教学谈高效课堂[J].数学教学通讯（下旬），2018（1）：6-12. |
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