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标题 基于核心素养提升的数学例题教学探析
范文 康小峰



1对数学核心素养的理解
《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个整体.”六大核心素养各自都有其丰富的内涵，它们在学生数学学习的教学活动中体现，又通过学生的数学学习活动内化为自身的核心素养.这就要求数学学科的教学要从素养的高度来进行，为素养而教，用学科育人.概言之，数学核心素养对数学的教学不仅起到指导和引领的作用，也彰显了数学教学的育人价值.
2对例题教学的认识
例题教学是高中数学教学的一个重要环节，它不仅能帮助学生更好地掌握数学的基础知识和基本技能，还能让学生更好地理解数学的应用，从而提升学生的思维品质和数学素养.然而，当下的高中数学教学，虽然师生每天都在进行大量的例题讲解和训练，但学生的考试结果依然是不理想.究其原因，有些教师还是以自己的“一厢情愿”展开教学：教师讲的多，学生参与的少;教师教法单一，学生沉闷;课堂贪多贪全，学生囫囵吞枣;忽视思维过程教学，不给学生充分时间思考;就题论题，缺乏对例题的优化处理和必要的反思.那么，如何在例题教学中提升学生思维能力，拓展学生思维空间，发展学生的核心素养就成了一个很重要的课题.本文拟探析如何在高中例题教学中提升学生的数学核心素养.
3核心素养视角下的例题教学案例分析
3.1案例呈现
案例 若实数x，y满足x2+y2-2y=0，且（k-l）x-y-3k+5≤0恒成立，则实数k的取值范围为———.（以下简称原题）
波利亚先生将数学解题过程分为弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思等四个阶段，笔者认为教师的例题教学也应遵循波利亚的四部曲，为学生的解题作一个良好的示范.接下来我们就从这四个方面展开.
3.2教学实施
弄清问题
（l）外显条件有哪些？
实数x，y满足二元方程x2+y2-2y=0且使不等式（k-l）x-y-3k+5≤0成立，等等.
（2）内隐条件有哪些？
有序实数数组（x，y）可看成是以x2+y2-2y=0为圆上的点，同时始终位于直线（k-l）x-y-3k+5=0一侧区域内（包括边界）.
（3）隐蔽条件有哪些？
对学生来说，挖掘直线（k-l）x-y-3k+5=0恒过点（3，2）是困难的，但这会为解题指明新方向，因为数形结合是解决恒成立问题的重要数学思想，往往会使解题直观、简洁.
说明 让学生通过观察与合作交流发现，任何一个数学问题的表征都是多元化的，一般可从代数和几何两个角度来切入.如本题从代数角度看它是一个有变量制约关系的二元不等式恒成立问题;从几何角度理解它是圆上的动点始终在一条过定点的动直线的一侧区域内（包括边界）的线性规划问题.这一表征过程让学生获取了“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通条件与结论之间联系的更多信息.有利于培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.
拟定计划
（l）属于什么知识板块？
显然属于不等式板块，主要考查方程问题和恒成立问题.
（2）涉及哪些相关知识？
主要涉及圆和直线的方程、以及直线与圆的位置关系、不等式等等.
（3）最终目标是什么？
最终目标明确，求参数k的取值范围.
（4）完成目标有哪些途径？
分离参数，转化为求函数的最值;利用圆的参数方程，再分离参数求最值;利用直线和圆的位置关系求解.
说明 通过对相应知识的回忆为后续解题策略的实施提供了良好的知识基础，有利于真正读懂题意，教会学生会用数学的思维思考现实世界，将一个不等式恒成立问题通过分离参数转化为函数的最值问题，或是直线与圆的位置关系问题，从宏观上把握了整个题目的解题方向，为解题计划的实施埋下了伏笔.培养了学生的数学建模意识和转化化归思想.
实施计划
按照刚才的思路尝试去解决：
解法1（直接分离参数）：
原不等式可化为k（x-3）≤x+y-5，参数k的分离取决于x与3的大小.
问题l：如何判断x与3的大小？
学生陷入了困境.
问题2：请大家回忆一下，在椭圆的几何性质一节中我们如何探索椭圆上点横、纵坐标的取值范围的？能否从方程与曲线的关系来看方程x2+y2-2y=0呢？
经提醒，有学生将方程变形为x2+（y-1）2=1，利用（y-1）2的非负性得出-1≤x≤1.
又有学生发现：这是一个圆心在（0，l）半径为1的圆的一般式方程，画图可得圆上点横坐标x的范围在[-l，l].从而k≥（x+y-5）/（x-3），接下来就是如何求
人一Jμ（x，y）=（x+y-5）/（x-3）的最大值，大部分学生先通过分离常数将表达式变形为μ（x，y）=l+（y-2）/（x-3）.
问题3：我們如何来求（y-2）/（x-3）的最大值呢？
对学生来说这并非轻而易举的事情，二元函数的最值常见处理策略是通过消元，转化为一元函数的最值，但本题显然行不通.有学生提出用圆的参数方程将（y-2）/（x-3）转化为（sinθ-1）/（cosθ-3），再求三角函数的最值，通过运算得出[（sinθ-1）/（cosθ-3）]=（1-3cosθ-sinθ）/（cosθ-3）2，因求不出极值点，所以无功而返.
问题4：同学们能否从目标式（y-2）/（x-3）的形式入手，比如联想它的几何意义等等.
经过全班同学的讨论，大家一致认为（y-2）/（x-3）可看成是圆上的动点P（x，y）与定点Q（3，2）连线的斜率，数形结合，转化为过点Q向圆引切线，求切线斜率的最大值，具体解法略.
解法 l 是在师生的共同合作中逐步走向深入的，大方向是分离参数，但接下来的操作却极其坎坷，比如判断x与3的大小关系，教师并不是直接告知结果，而是启发学生回忆课本中探索椭圆上点坐标范围的过程，试图引导学生将课本上的方法迁移过来，培养了学生的知识迁移能力;再如求（y-2）/（x-3）的最大值，用圆的参数方程处理后陷入了无法求出极值点的困境，此时教师提醒学生及时调整解题方向：从形的角度来审视目标式的结构特征，培养了学生的解题监控能力和从数学思想的高度把握解题方向的意识.于不知不觉中提高了学生的数学抽象、数学运算、数学建模和直观想象等核心素养.其解题的策略和所需的核心素养，可用图l表示.
解法2（数形结合法）
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同角度看问题会有不同的感受.换一种视角去观察，换一种方式去思考，也许会有意外的惊喜.
问题5：如果从形的角度，实数x，y满足x2+y2-2y=0，它是一个圆，方程的解与圆上的点对应，于是有了动点，这些动点都在同一个圆上，现在实数x，y又满足（k-l）x-y-3k+5≤0，这个不等式的几何背景又是什么呢？前面有无这样的研究经历？
___有，“线性规划”中关于不等式表示平面区域的研究.
接下来，学生主动提出了新问题：动点（x，y）既在圆x2+y2-2y=0上运动，又在直线（k-l）x-y-3k+5=0的一侧区域内（包括边界），那直线与圆具有怎样的位置关系呢？
经过讨论、交流，大家一致认为直线与圆是相离的.
问题6：从几何视角原题转化为解析几何背景下的直线与圆的相离问题，如何来刻画它呢？
学生自然知道：用点到直线的距离来刻画，接下来大家跃跃欲试，由|4-3k|/[√（k-1）2+1]≥1，解得k≤l或k≥7/4.
问题7：答案对吗？再画画图试试？
一些反应较快的学生发现直线（k-1）x-y—3k+5=0恒过定点（3，2），结合图形得出k≥7/4.
解法2从形的视角将一个二元限制条件下的不等式恒成立问题转化一个线性规划问题，用数学的思维思考问题，达到将一般意义下参数k的求解转化为带有浓厚几何背景下参数的求解（k-l可看成是直线的斜率），考查学生的直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养;由于教师启发得当，学生进而产生主动学习的倾向，这是必然的，又是自然的，主动地、数学地提出问题也是数学核心素养的重要因素;而在求解的过程中，发现不易舍去的两解，倘若迎难而上，则会无功而返;这时，注意到动直线恒过定点，利用圆在直线一侧的特殊性，数形结合，轻松应对，从而达到以静制动的效果，考查学生高水平的直观想象素养，感悟数学思想，树立敢于质疑善于思考的科学精神.解法2中解题的策略和所需的核心素养，可用图2表示.
回顾反思
我们能否把这个计划或者解法做点修正，使得上述利用圆的参数方程消元求解不留遗憾，解题过程更简洁一些，优美一些呢？那就做个全面的“回头看”：直接代入圆的参数方程得（k-1）cosθ-sinθ+4-3k≤0，下一步如何处理，分离参数会重蹈覆辙，因此需要调整解题方向，认真观察不等式左边形式，这就需要启发学生去回顾联想以前，特别是“三角恒等变换”中的学习经验，从中去发现自己所用的方法，并用之于当前新问题的探究学习中去，最终得出√（k-1）2+lcos（θ+φ）+4-3k≤0，分离参数得cos（θ+φ）≤（3k-4）/√[（k-1）2+1]……
在基本完成原题的教学任务之后，还要去做什么？——反思小结.
问题8：以上三种解法基于什么角度得到的？它们的适用范围是什么？对今后解题有何启发？
问题9：哪种方法最简单？为什么简单？
问题lo：你会尝试变题吗，试试看？
说明 解法 l中圆参数方程运用的再思考，是教师借助学生已有的经验，帮助学生建立具体的经验和新问题之间的联系，实现原解法从失败到成功的完美过渡，培养了学生的知识迁移能力和思维的深刻性.这种“遇到问题怎么办”具有方法论层面的意义.学生的这种自主探究能力，是核心素养的重要体现.反思小结是例题教学的高潮处，也是点睛之笔，一个小小的问题串大大激发了学生对不同解题思维活动分析和解法比较的好奇心，使处于不同层次的学生会对现有的思维活动产生同化与顺应，促使其改进现有的思维方式，为下次同类问题的思维活动和方法选择提供可借鉴的经验.有利于培养学生思维的批判性和提升学生的数学核心素养.
4基于核心素养的例题教学的思考
例题教学的过程，就是教师带领学生逐渐解开“谜底”的过程.从这个意义上讲，数学例题教学就是一种“想问题”的过程，我们要顺应学生的认知，创设有利于发展学生核心素养的教学情境，把“想”的过程呈现出来，教会学生遇到一个陌生的问题怎么去想，如何“从无到有”地寻找思路和调整策略，学会数学地思考问题和解决问题，让学生对数学的理解与教师的讲授无缝对接.数学核心素养理念下的例题教学可从以下几方面入手：
4.1在问题表征中培养学生的核心素养
现在的例题教学往往是，审题上老师替代包办，舍不得花時间让学生独立审题，接下来便在“制订计划”上大做文章一各种方法狂轰滥炸，学生听得云里雾里，实质是没有在“弄清问题”上下功夫的结果，我们知道例题教学很大程度上就是问题解决的教学，而问题表征是问题解决的前提，如果一个问题被合理地表征也就意味着问题解决前进了一大步，在数学例题教学中，教师要引导学生从问题的条件和结论出发，不断提取、转换相关信息，通过符号表征、语言表征、操作表征、图形表征等多种不同的表征形式，帮助学生，理解题目的深层次结构，逼近问题的本质，激活其已有的知识和经验，探索出不同的解题思路，发展自身的数学抽象、直观想象等数学核心素养.
4.2在问题思考中培养学生的核心素养
数学核心素养并不是高高在上、不可捉摸的，它是有形的.正如王尚志教授所说：“数学核心素养不能离开数学的学习、应用、创新……它们综合体现在‘发现与提出问题、分析与解决问题的过程中.”笔者的理解是，数学核心素养的提升是以知识为载体，以问题为纽带，在“发现与提出问题、分析与解决问题”的过程中培养学生用数学的思维来思考问题，这是数学教育的目标，也是学生需要具备的数学素养.现行常见的例题教学形式是，学生到讲台板演、向同学表达自己的想法，这些活动虽较传统的例题教学有很大改进，但仍只局限于“呈现解题的结果”，却掩盖了“怎么想的”和“怎么想到的”思维过程.怎样让学生学会思考？就是要让学生在思考的过程中，去学会思考.这就要求教师设计好阶梯型的问题串，通过提问的形式发现思路，并不断引导学生去补充和评价，表达出自己的想法.比如，这个问题这样想有什么弊端，能完善吗？还有别的想法吗？能改进吗？最佳解决方案是什么？等等.在教学中，教师要有意识地让学生在自主学习、合作探究、互动交流中亲身经历思考的过程，为其今后找到解题突破口和顺利推进解题思维奠定基础，只有这样，学生的数学抽象和逻辑推理等核心素养才能得到真正发展.
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更新时间：2024/12/23 2:31:50