| 标题 | 由高考题引发的对函数极值点教学的一点思考 |
| 范文 | 廖永明 对于一般函数的极值点，教学中多借助几何直观，用自然语言给出函数极值点的描述性定义：若函数f（x）图象在点P（x1，f（x1））处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），我们就称f（x1）为函数f（x）的一个极大值，x1为函数f（x）的一个极大值点；类似的，若函数f（x）图象在点P（x2，f（x2））处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），我们就称f（x2）为函数f（x）的一个极小值，x2为函数f（x）的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件，揭示了一般函数极值点的本质特征：极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1]. 在教学中，教师一定会对极值与最值加以区别，由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点），那么y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小）.事实上，反过来也是成立的，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小），那么我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值），x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点）.这甚至可以作为函数极值点的第二种定义，在日常教学中教师往往会注意强调前者，后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题. 对于一般函数的极值点，教学中多借助几何直观，用自然语言给出函数极值点的描述性定义：若函数f（x）图象在点P（x1，f（x1））处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），我们就称f（x1）为函数f（x）的一个极大值，x1为函数f（x）的一个极大值点；类似的，若函数f（x）图象在点P（x2，f（x2））处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），我们就称f（x2）为函数f（x）的一个极小值，x2为函数f（x）的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件，揭示了一般函数极值点的本质特征：极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1]. 在教学中，教师一定会对极值与最值加以区别，由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点），那么y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小）.事实上，反过来也是成立的，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小），那么我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值），x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点）.这甚至可以作为函数极值点的第二种定义，在日常教学中教师往往会注意强调前者，后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题. 对于一般函数的极值点，教学中多借助几何直观，用自然语言给出函数极值点的描述性定义：若函数f（x）图象在点P（x1，f（x1））处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），我们就称f（x1）为函数f（x）的一个极大值，x1为函数f（x）的一个极大值点；类似的，若函数f（x）图象在点P（x2，f（x2））处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），我们就称f（x2）为函数f（x）的一个极小值，x2为函数f（x）的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件，揭示了一般函数极值点的本质特征：极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1]. 在教学中，教师一定会对极值与最值加以区别，由定义我们不难发现函数的极值其实是一种局部的最值，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点），那么y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小）.事实上，反过来也是成立的，即：如果函数y=f（x）在点x0的附近有定义，并且y=f（x0）的值比在点x0附近所有各点的函数值都大（或都小），那么我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值），x0为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点）.这甚至可以作为函数极值点的第二种定义，在日常教学中教师往往会注意强调前者，后者却容易被忽视.但最近几年的高考题却出现了重点考查后者的函数极值概念题.如2013年浙江省高考理科数学第8题. |
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